Толстые морфизмы и канонические преобразования в классической механике

Обратный образ относительно произвольного отображения (морфизма) двух пространств $M_1\to M_2$ есть линейное отображение $C^\infty (M_2)\to C^\infty (M_1)$ алгебр функций на этих пространствах. В 2014 г. Ф.Ф.Воронов ввел так называемые толстые морфизмы, как естественное средство описания $L_\infty$ морфизмов алгебр функций со структурой гомотопических алгебр Пуассона. Вороновым был введен специальный геометрический объект $S$, задающий толстый морфизм $\Phi_S$ из $M_1$ в $M_2$. Обратный образ относительно толстого морфизма, определяемого объектом $S$, задает, вообще говоря, нелинейное отображение алгебры функций $C^\infty(M_2)$ в алгебру функций $C^\infty(M_1)$. Это нелинейное отображение переводит структуру пуассоновской гомотопической алгебры на пространстве $C^\infty(M_2)$ в структуру пуассоновской гомотопической алгебры на пространстве $C^\infty(M_1)$. Условие перехода формулируется в виде специального дифференциального уравнения на объект $S$, которое имеет вид уравнения Гамильтона-Якоби.
Многообразия $M_1$ и $M_2$ в этой конструкции содержат не только четные (бозонные) координаты, но и нечетные (фермионные) координаты, то есть $M_1$ и $M_2$ являются супермногообразиями. Оказывается, что многие нетривиальные свойства этой конструкции сохранятся даже в случае, если 'спуститься с небес на землю' и рассматривать обычные (не супер!) многообразия.
Например, если рассматривать толстые обратимые морфизмы, обычных (не супер!) многообразий, то мы придем к конструкциям, которые имеют естественную интерпретацию в классической механике. В частности, в этом случае геометрический объект $S$, который управляет толстыми морфизмами, превращается в обычное действие классической механики, и обратный образ толстого морфизма $\Phi_S$ получает естественную интерпретацию в терминах дифференциального уравнения Гамильтона-Якоби, соответствующего этому действию.
Работа проделана совместно с Ф.Ф.Вороновым.