Фундаментальное соответствие для преобразования Меллина

Преобразования Меллина играют особую роль в комплексном анализе. Это объясняется, прежде всего, их наибольшей приспособленностью к использованию теории вычетов. Для любой пары выпуклых областей $\Theta, U \subset {\mathbb R}^n$ определены изоморфные функциональные пространства $M_{\Theta}^{U}$ и $W_{U}^{\Theta}$, переводимые друг в друга прямым и обратным преобразованиями Меллина. Пространство $M_{\Theta}^{U}$ состоит из функций, голоморфных в секториальной области ${\mathrm{Arg}}^{-1}(\Theta)\subset {\mathbb C}^n$, с показателями роста из области $U$, а $W_{U}^{\Theta}$ — это векторное пространство функций, голоморфных в трубчатой области $U+i{\mathbb R}^n\subset {\mathbb C}^n$ и убывающих в ней экспоненциально с показателями из $\Theta$. Существует соответствие между слагаемыми асимптотического разложения функции–оригинала $f(x)\in M_{\Theta}^{U}$ и особенностями её преобразования Меллина $M[f](z)\in W_{U}^{\Theta}$. Именно это фундаментальное соответствие определяет сферу применения преобразований Меллина. В докладе будут детально рассмотрены преобразования Меллина рациональных функций с квазиэллиптическими и гипоэллиптическими знаменателями, а также показана роль преобразований Меллина в реализации вычетных потоков.