«Рохлинская двойка», занятие 3

23 августа этого года исполняется 100 лет со дня рождения выдающегося математика Владимира Абрамовича Рохлина. Одной из вершин его творчества является теорема, утверждающая, что сигнатура любого гладкого замкнутого ориентированного четырёхмерного многообразия с чётной формой пересечений делится на 16. Все изучавшие линейную алгебру должны знать, что над полем вещественных чисел любая симметрическая билинейная форма линейной заменой координат приводится к виду
$$f(x,y)=x_1y_1+\dots+x_py_p-x_{p+1}y_{p+1}-\dots-x_{p+q}y_{p+q}.$$

Числа p и q называются положительным и отрицательным индексами инерции, а их разность — сигнатурой формы f. Таким образом, классификация вещественных симметрических билинейных форм очень проста. Однако, если рассматривать формы не над полем вещественных чисел, а над кольцом целых чисел, то получается гораздо более сложная и красивая теория, ещё очень далёкая от своего завершения. Симметрическая билинейная форма называется унимодулярной, если определитель её матрицы равен ±1, и чётной, если на диагонали её матрицы стоят чётные числа. Бывают ли чётные унимодулярные формы? Да, например, $f(x,y)=x_1y_2+x_2y_1$. А бывают ли чётные унимодулярные формы с ненулевой сигнатурой? Тоже да. Попробуйте построить такую форму, но не переживайте, если не получится: это сложная задача и простейший пример имеет размерность 8. Более того, оказывается, что сигнатура любой чётной унимодулярной формы делится на 8. Этот красивый алгебраический факт будет доказан в первой половине курса.
Вторая половина курса будет посвящена упомянутому выше замечательному результату В.Рохлина. Каждому ориентированному гладкому замкнутому четырёхмерному многообразию можно естественным образом сопоставить унимодулярную симметрическую билинейную форму, называемую его формой пересечений. Теорема Рохлина утверждает, что если эта форма чётна, то её сигнатура делится не только на 8, но и на 16. Это отличие в 2 раза, открытое В.А. Рохлиным, сыграло огромную роль в развитии топологии во второй половине 20-го века и известно в настоящее время под жаргонным названием «рохлинская двойка». Я не уверен, что я успею рассказать полное доказательство теоремы Рохлина, но я постараюсь проиллюстрировать основные идеи, лежащие в основе её доказательства, и объяснить, почему эта теорема так важна.