Экстремальные конфигурации точек на сфере, занятие 1

Одними из самых первых математических этюдов на сайте etudes.ru были «Контактное число шаров и сферические коды» и «Задача Томсона». В первом этюде разбирался вопрос Ньютона–Грегори (1694) о том, как много одинаковых бильярдных шаров можно расположить в пространстве вокруг центрального шара того же радиуса? Несмотря на простую формулировку, эта задача оказалась довольно трудной и строгое доказательство того, что шаров не может быть больше 12 появилось только спустя 260 лет после постановки задачи.
Обобщением этой задачи является задача Таммеса (1930): единичного шара в пространстве касается N одинаковых непересекающихся шаров; какой может быть их максимальный радиус? На сегодняшний день решение этой задачи известно для N<15 и N=24. Замечу, что случаи N=13 и N=14 сделаны недавно в наших совместных работах с А. С. Тарасовым при помощи компьютерного перебора контактных графов. На первом занятии для задач Ньютона–Грегори и Таммеса мы разберем методы их решения и обсудим новые подходы.
На втором занятии мы рассмотрим конфигурации точек на сфере, которые минимизируют заданную потенциальную энергию системы. В задаче Томсона (1904) необходимо найти такое расположение N одинаковых точечных зарядов на поверхности сферы, при котором их взаимное отталкивание минимально. Эта задача и родственные с ней задачи оказались очень трудными и, в частности, задача Томсона решена всего для нескольких N (N<7 и N=12). Отмечу, что для N=5 несмотря на большие усилия получено только «переборное» компьютерное решение. Недавно, в нашей совместной работе с П. Д. Драгневым, мы описали все Log-оптимальные конфигурации N=d+2 точек на сфере в d-мерном пространстве. Идея доказательства пришла из комбинаторной геометрии (теорема Радона), однако потребовались немалые усилия и «олимпиадные» трюки, чтобы эту идею реализовать.
На третьем занятии мы обсудим множества точек в пространстве или на сфере, расстояния между которыми принимают не более чем два значения. Мы разберем вопрос о том, как много точек может иметь такое множество, а также какие конфигурации образуют точки из экстремальных наборов. На плоскости такое множество может состоять из пяти точек — вершин правильного пятиугольника. В трёхмерном пространстве максимальная мощность (размер) таких множеств равна шести и оказывается, что имеется шесть различных (не изометричных) конфигураций. Недавно получен значительный прогресс по максимальной мощности сферических множеств с двумя расстояниями. Я также расскажу о теории Эйнхорна–Шёнберга и о классификации с помощью нее всех множеств с двумя расстояниями на плоскости и в пространстве.