Уравнение Кортевега – де Фриза и задача дифференцирования абелевых функций по параметрам

В докладе будет рассказано о методе построения явных решений задачи дифференцирования абелевых функций по параметрам в гиперэллиптическом случае. Мы работаем с гиперэллиптической кривой рода $g$
$$\mathcal{V}_{\lambda}=\{(x,y)\in\mathbb{C}^2: y^2=x^{2g+1}+\lambda_4 x^{2g-1}+\lambda_6 x^{2g-2}+\dots+\lambda_{4g} x+\lambda_{4g+2}\}.$$
Мероморфные функции на якобиане такой кривой называются гиперэллиптическими функциями.
Задача состоит в построении алгебры Ли дифференцирований гиперэллиптических функций. В эллиптическом случае $g =1$ решение этой задачи можно найти в [1].
Общая теория решения этой задачи развита в [2], но явные решения в случаях $g = 2$ и $g = 3$ удалось построить лишь недавно [3,4]. Оно основано на теории гиперэллиптических функций, развитой в [5].
Мы сводим задачу дифференцирований гиперэллиптических функций к задаче построения $3g$ проектируемых полиномиальных векторных полей для заданного полиномиального отображения $p:\mathbb{C}^{3g}\to\mathbb{C}^{2g}$ . Решения этой задачи для данного $p$ оказываются непосредственно связаны с иерархией Кортевега – де Фриза.