Прямоугольные многогранники в пространстве Лобачевского: комбинаторика и конструкции

Теоремы А.В. Погорелова (1967) и Е.М. Андреева (1970) дают критерий реализуемости комбинаторного выпуклого трёхмерного многогранника в виде многогранника конечного объёма с прямыми двугранными углами в пространстве Лобачевского. Недавно многогранник, реализуемый без вершин на абсолюте, был назван многогранником Погорелова. Многогранники из этого класса использовали Ф. Лёбелль (1931) и А.Ю. Веснин (1987) для построения компактных трёхмерных гиперболических многообразий.
В последнее время внимание к многогранникам Погорелова во многом обязано тому, что, как оказалось, этому классу принадлежат фуллерены – простые многогранники только с 5- и 6-угольными гранями. Собственные вершины прямоугольного многогранника имеют валентность 3, а вершины на абсолюте – 4. Срезка 4-валентных вершин даёт интересный класс многогранников, которые мы называем почти погореловскими. Это многогранники, у которых рёберный граф является сильно циклически 4-рёберно связным графом. Оказывается, что все почти погореловские многогранники, кроме куба и 5-угольной призмы можно получить таким образом. Из результатов Д. Барнетта (1974, 1977) следует, что любой многогранник этого нового семейства можно получить из многогранника Сташефа (ассоциэдра) при помощи операций срезки ребра и срезки пары смежных рёбер, а семейство многогранников Погорелова получается из k-бочек (многогранников Лёбелля в терминологии А.Ю. Веснина) при помощи операций срезок пар смежных рёбер и подразбиений 5-угольников.
В докладе мы обсудим усиление этого результата и его приложение к фуллеренам. Покажем, что любой фуллерен, кроме додекаэдра и (5,0)- нанотрубок, может быть получен только из 6-бочки последовательностью операций срезок пар смежных рёбер такой, что на промежуточных шагах возникают только 5-, 6-угольники и, быть может, один 7-угольник, к которому обязательно примыкает 5-угольник. Другой основной результат доклада: любой почти погореловский многогранник, кроме куба и 5-угольной призмы, получается из почти погореловского многогранника или куба с двумя срезанными несмежными рёбрами операцией одновременной срезки набора попарно несмежных рёбер. Следствие: любой прямоугольный многогранник, у которого все вершины лежат на абсолюте, задаётся совершенным паросочетанием в рёберном графе почти погореловского многогранника. В химии фуллеренов такие паросочетания называются структурами Кекуле и отвечают двойным связям в молекуле.