Компакты и компактность

В этой лекции мы познакомимся с одним из важнейших понятий топологии — компактностью, начав с обсуждение того, какие же свойства обычного отрезка отвечают за выполнение основных теорем о непрерывных функциях.
Будет разобрано много примеров и применений — простых и сложных.
В основном, мы будем заниматься метрическими пространствами (определение будет напомнено). Немного позанимаемся и компактностью в топологических пространствах (определение будет дано).
Те, кто уже знакомы с понятием компактности, могут спокойно проспать первую половину (лучше в номере, так как пара первая), и, возможно, прийти на вторую половину, в которой будет рассказано про более тонкие применения компактности (например, для нахождения аналитического отображения области в круг), необычные наблюдения (например, какой компакт на плоскости встречается в природе «чаще всего») и про некоторые классические нерешенные задачи (оказывается, что на некоторые естественные вопросы о компактах на обычной плоскости ответов пока нет).
Предварительных знаний для основного материала лекции не требуется. Необходимые для некоторых примеров понятия будут сообщены по ходу дела.