Аннотация:
Как плотнее всего расположить непересекающиеся одинаковые круги на плоскости? Ответ известен — разместив их центры в вершинах треугольной решётки. В трёхмерном пространстве ответ хоть и считается известным («пирамида ядер»), но до сих пор не доказан.
Достаточно часто в этой или в похожих задачах (скажем, в задаче о контактном числе) ответом (или предполагаемым ответом) оказывается расположение шаров в вершинах, образующих решётку. Поэтому исследование решёток в многомерных пространствах оказывается очень естественным шагом — и приводит к исключительно красивой теории.
Программа курса:
1. Решётки в многомерных пространствах, «сильная дырявость» кубической решётки. Характеристики решётки: контактное число, плотность упаковки. Связь контактного числа с передачей информации по зашумлённому каналу.
2. Конкретные примеры: пирамида ядер в $\mathbf R^3$, кубическая, cfc и ccc решётки. Совпадение пирамиды ядер с cfc. Шахматная решётка в $\mathbf R^4$.
3. Свойства решёток: целость, чётность, унимодулярность. Двойственные решётки, самодвойственность. Примеры: решётки $\mathbf D_n$, $\boldsymbol\Gamma_n$.
4. Коды, их свойства. Порождающая матрица, проверочная матрица. Решётки, получающиеся из кодов, связь свойств. Код Хэмминга, пополненный $(8,4,4)$-код, решётка $\mathbf E_8$ (она же решётка Коркина–Золотарёва, она же решётка Витта).
5. Корни, классификация решёток, порождённых корнями. Код Голея и решётка Лича.
6. Производящий многочлен кода, его поведение при переходе к двойственному коду. Теорема о делимости на 8 размерности дважды чётного самодвойственного кода. Немного теории представлений: производящий многочлен как многочлен от стандартных.
7. Тета-функция чётной решётки, переход к двойственной решётке. Модулярные формы, модулярность тета-функции чётной унимодулярной решётки. Теорема о делимости на 8 размерности чётной унимодулярной решётки.
8. Ещё немного о модулярных формах и связи с комплексным анализом: функция Вейерштрасса, модулярные инварианты, вложение эллиптической кривой в $\mathbf{CP}^2$. Как устроено пространство $\mathbf{E}_{2n}$ модулярных форм?
Обратная связь: