Об осях зон захвата в модели Джозефсона и матрицах связи уравнения Гойна

Эффект Джозефсона в сверхпроводимости описывается трехпараметрическим семейством дифференциальных уравнений на торе (один параметр, называемый частотой, фиксирован; два другие параметра свободны). Изучается число вращения потока на торе как функция от параметров. Зона фазового захвата – это множество уровня функции числа вращения, имеющее непустую внутренность. Известно, что каждая зона фазового захвата есть гирлянда из бесконечного числа компонент, примыкающих друг к другу по точке, называемой перемычкой. Имеется гипотеза о том, что для каждой зоны захвата все ее перемычки лежат на одной вертикальной прямой, называемой осью зоны захвата. На данный момент эта гипотеза доказана лишь частично (в работе В.А.Клепцына, Д.А.Филимонова, И.В.Щурова и докладчика). Есть серия геометрических гипотез о зонах захвата, из которых следует вышеупомянутая гипотеза. Одна из них утверждает, что пересечение каждой зоны захвата с ее осью связно. Рассматриваемое семейство уравнений на торе эквивалентно специальному семейству линейных уравнений второго порядка: дважды конфлюэнтных уравнений Гойна. Ожидается, что результаты по уравнениям Гойна будут иметь важные применения к модели эффекта Джозефсона.
В докладе будет доказано, что пересечение зоны захвата с осью содержит некоторый явно указанный полубесконечный интервал оси, ограниченный некоторой специальной точкой, для которой соответствующее уравнение Гойна имеет полиномиальное решение. Этот результат доказывается с помощью симметрии уравнения Гойна и исследования его матриц Стокса и матрицы связи между его секториальными решениями в нуле и в бесконечности.