Дискретное преобразование Фурье. Лекция 1

Дискретное преобразование Фурье используется не только в компьютерных алгоритмах (например, оно может быть использовано для быстрого умножения чисел и многочленов, а также лежит в основе форматов mp3 и jpg), но и в чистой математике. Это инструмент, работающий при анализе дискретных моделей, которые находятся где-то между действительным и $p$-адическим мирами.
В частности, дискретное преобразование Фурье позволяет решать следующие задачи.
1. Как «элементарно» вычислить значения дзета-функции Римана в четных положительных точках?
2. Сопротивление между соседними узлами бесконечной квадратной сетки равно единице. Чему равно сопротивление между узлами, соединенными шагом шахматного коня?
3. Вычислить точное значение суммы Гаусса $\sum_{x=1}^pe^{2\pi i(x2/p)}$.
4. Доказать, что функция $\theta(x)=\sum_{n=-\infty}^\infty e^{-\pi xn^2}$ удовлетворяет функциональному уравнению $\theta(1/x)=\sqrt x\theta(x)$. (Из этого уравнения потом выводится функциональное уравнение для дзета-функции Римана.)
В курсе планируется решить какие-нибудь из перечисленных задач и поговорить о близких вопросах.
Курс не предполагает специальных знаний. Желательно, чтобы слушатели не боялись комплексной экспоненты ($e^{it}$ — это всего лишь $\cos t+i\sin t$).