Аннотация:
Вопрос о том, какой принцип управления применяет подсознание человека при движении, весьма нетривиален. Результаты эксперимента, когда человек, указывая неподвижной вытянутой рукой в одном направлении, быстро поворачивал руку, и останавливал ее в другом направлении, оказались удивительными: спустя примерно половину всего времени движения $T$ наблюдались промежутки, когда основные группы мышц, участвующие в движении (одна – вызывающая ускорение, и другая – тормозящая) одновременно выключались. Другая (менее существенная) особенность состояла
в несимметричности профиля скоростей. Например, когда руку поднимают вверх, максимальная скорость достигается в промежутке от $0.44T$ до $0.49T$.
В докладе рассказано об общей теории, объясняющей эти эффекты, и основанной на теории Трансверсальности и Принципе Максимума Понтрягина (включая негладкую версию принципа максимума, принадлежащую Кларку).
Рассмотрим механическую систему с Лагранжианом
$$
L(x,\dot x)=\frac12\dot x^TM(x)\dot x-V(x),
$$
и обобщенными координатами $x\in\mathbb R^n$. Обобщенные силы в уравнениях Лагранжа
$$
\frac\partial{\partial t}\,\frac{\partial L}{\partial\dot x}-\frac{\partial L}{\partial x}=u+N(x,\dot x),
$$
представляют собой сумму вектора $u\in\mathbb R^n$ управления и некоторой другой силы $N(x,\dot x)$ (учитывающей, например, трение).
Итак, мы рассматриваем динамику управляемой системы $\ddot x=\phi(x,\dot x,u)$, в которой
\begin{equation}
\phi(x,\dot x,u)=M(x)^{-1}(N(x,\dot x)-\nabla V(x)-C(x,\dot x)\dot x+u),
\tag{1}
\end{equation}
и матрица Кориолиса $C(x,\dot x)\in M_n(\mathbb R)$ задана формулой
$$
C_{ij}(x,\dot x)=\frac12\sum_{k=1}^n\biggl(\frac{\partial M_{ij}}{\partial x_k}+\frac{\partial M_{ik}}{\partial x_j}-\frac{\partial M_{kj}}{\partial x_i}\biggr)\dot x_k.
$$
Обычная (алгебраическая) работа внешней управляющей силы (или момента) $u$ на перемещении $x(t)$, $t\in[0,T]$ – это величина $W=\int_0^Tu\dot x\,dt$.
“Практической” работой внешней силы (то есть энергией, затраченной мышцей на эту внешнюю силу) будем называть величину $\int_0^T|u\dot x|\,dt$, и “абсолютной” работой $Aw$ будем называть
сумму выражений такого вида для всех мышц.
Отметим, что в описанном эксперименте управления задаются как $u_i=v_i-w_i$ при неотрицательных управляющих силах $u_i$, $w_i$ каждой из антагонистических групп мышц, поэтому положим
$$
Aw=\sum_{i=1}^n\biggl(\int_0^T|v_i\dot x_i|\,dt+\int_0^T|w_i\dot x_i|\,dt\biggr).
$$
Наша теория содержит два основных результата:
1. Используя соображения трансверсальности, мы показываем, что для существования интервалов “бездействия” целевой функционал (если конечно он существует) не может быть гладким при $u=0$.
Другими словами, наличие “бездействия” означает, что целевой функционал содержит члены, подобные абсолютной работе.
2. Используя Принцип Максимума для функционала, являющегося комбинацией абсолютной работы и некоторого другого члена (комфортности), мы доказываем, что промежутки бездействия, и даже одновременного бездействия всех групп мышц обязаны появляться при оптимальном движении.
Отметим, что наш подход объясняет и ряд других классических явлений в биомеханике.
Обратная связь: