Statistics of the Morse theory of smooth functions

На двумерной сфере имеется ровно 17746 топологически различных функций Морса с 4 сёдлами. Этот результат, основанный на комбинаторике случайных графов, получен лишь пару лет назад (в ходе исследований 16-ой проблемы Гильберта в вещественной алгебраической геометрии о топологической классификации многочленов).
В прошлом году американский математик L. Nikolaescu доказал гипотезу Арнольда о том, что число таких функций с $T$ сёдлами на двумерной сфере растёт $T$ в степени $2T$ (используя методы, восходящие к квантовой теории поля и к теории зеркальной симметрии физиков).
В докладе рассказано об этих исследованиях и об их аналогах для теории гладких функций на других многообразиях, например, для функций на торе и для тригонометрических многочленов с фиксированной диаграммой Ньютона данной аффинной группы Кокстера.