Аналитические задачи, возникающие при изучении $PT$-симметрических операторов Штурма–Лиувилля

Рассматривается $PT$-симметрический оператор Штурма–Лиувилля
$$ T(\varepsilon) = -\frac 1\varepsilon\frac{d^2}{dx^2} + P(x), \quad \varepsilon >0, $$
в пространстве $L_2(-a,a)$, $0<a\leqslant \infty$, где потенциал $P$ подчинен условию $P(x)= -\overline{P(-x)}$. Такие потенциалы называются $PT$-симметричными. Спектр таких операторов симметричен относительно вещественной оси и дискретный, при условии конечности интервала $(-a, a)$ и условии, что потенциал не имеет высокого порядка сингулярностей. При некоторых дополнительных условиях на рост $P$ спектр также дискретен, когда интервал совпадает с вещественной осью. Задача состоит в том, чтобы прояснить динамику собственных значений, когда параметр $\varepsilon$ меняется вблизи нуля, в средней зоне и вблизи бесконечности. Мы представим несколько результатов для общих и некоторых аналитических потенциалов и укажем модели, когда задача может быть решена точно. Будет прояснена также связь с известной проблемой Орра–Зоммерфельда в гидродинамике. Доклад основан на совместных работах с С. Н. Тумановым.