Системы, интегрируемые по Дарбу: пример двумеризованной цепочки Тоды

В теории интегрируемых систем, в зависимости от класса рассматриваемых задач, вводятся различные понятия интегрируемости. Например, когда речь идёт о конечномерных динамических системах, то, как правило, говорят об интегрируемости по Лиувиллю; при изучении эволюционных уравнений под интегрируемостью обычно понимается интегрируемость методом обратной задачи. Я расскажу об интегрируемых по Дарбу системах — классе гиперболических систем, допускающих более или менее явное интегрирование. Простейшим примером такой системы является классическое уравнение Лиувилля $u_{xy} = e^u$ общее решение которого было найдено ещё Ж. Лиувиллем в 1853 году. Менее тривиальным примером интегрируемой по Дарбу системы являются двумеризованные цепочки Тоды — системы, независимо возникшие в классической дифференциальной геометрии в конце 19 века и в теоретической физике почти век спустя. Я расскажу об одной очень простой конструкции, позволяющей строить характеристические интегралы как для двумеризованных цепочек Тоды, так и для их дискретных аналогов.