Counterexamples to the $\ell$-modular secrecy function conjecture

Гипотеза Бельфиоре и Соле о “функции секретности” для унимодулярных решёток, возникающая в связи с беспроводной связью, использующей кодирование с помощью ко-решётки на гауссовых каналах прослушивания, утверждает, что для $n$ -мерной унимодулярной решётки $\Gamma$ величина $\vartheta_\Gamma/\vartheta_{\mathbb Z^n}$ имеет на положительной мнимой полуоси единственный глобальный минимум в точке симметрии $i$. Аналогично, при целом $\ell\geqslant 2$ естественным обобщением этой гипотезы будет утверждение о том, что для $\ell$-модулярной решётки величина $\vartheta_\Gamma/\vartheta_{(\ell^{1/4}\mathbb Z)^n}$ на положительной части мнимой оси имеет единственный глобальный минимум в точке симметрии $i/\sqrt\ell$. Однако, Эрнвал-Хитонен и Сетураман показали, что это не так, поскольку функция, отвечающая 4-модулярной решётке $\mathbb Z\oplus\sqrt2\,\mathbb Z\oplus2\mathbb Z$ ведёт себя противоположным предсказанному гипотезой образом: для неё существует единственный глобальный максимум в точке $y=1/2$.
Настоящий доклад также будет посвящён гипотезе о функции секретности. В частности, будет описано бесконечное семейство $\ell$-модулярных контрпримеров, отвечающих $\ell\geqslant2$, построенных с помощью прямых произведений расширений $\mathbb Z$. Показано, что в каждом из этих случаев наблюдается явление, противоположное тому, что утверждает гипотеза. Одна из ключевых идей доказательства состоит в использовании свойства выпуклости классических $\vartheta$-функций. Представленные утверждения являются результатами совместной работы с А.-М. Эрнвал-Хитонен.