On the irreducible solutions of the equation with inverses

Рассмотрим симметричное диофантово уравнение
$$ \frac{1}{x_{1}}+\ldots + \frac{1}{x_{r}}\,=\,\frac{1}{x_{r+1}}+\ldots + \frac{1}{x_{2r}},\qquad(1) $$
в котором $r\geqslant 3$, а переменные $x_{1},\ldots, x_{2r}$ принимают значения целых чисел из промежутка $[1,N]$. Уравнения такого вида возникают в задачах теории чисел, связанных с оценками неполных сумм Клоостермана.
Решение уравнения (1) называется неприводимым, если ни одна из компонент $x_{1},\ldots, x_{r}$ не содержится среди компонент $x_{r+1},\ldots, x_{2r}$. Имеет место
Теорема 1. Пусть $N, r\geqslant 3$. Тогда для количества $J_{r}(N)$ неприводимых решений уравнения (1) в положительных целых числах $1\leqslant x_{1},\ldots, x_{2r}\leqslant N$ справедлива оценка:
$$ J_{r}(N)<e^{(3r)^{3}-90}N^{\,r\,-\,r/(2(2r-1))} \biggl(\frac{\ln{N}}{r}+9\biggr)^{\!10r^{2}}\!\!\exp{\biggl(\frac{26r^{3/2}\sqrt{\ln{N}}}{\ln{(r\ln{N})}}\biggr)}. $$

С помощью оценки теоремы 1 можно получить и асимптотическую формулу для количества $I_{r}(N)$ решений уравнения (1) в целых числах $1\leqslant x_{1},\ldots, x_{2r}\leqslant N$. Так, справедлива
Теорема 2. Пусть $N,r\geqslant 3$, Тогда для величины $I_{r}(N)$ справедливо равенство
$$ I_{r}(N)\,=\,r!N^{r}\bigl(1\,+\,\delta_{r}(N)\bigr), $$
где
$$ |\delta_{r}(N)|\leqslant e^{(3r)^{3}-90}N^{-\,r/(2(2r-1))}\biggl(\frac{\ln{N}}{r}+9\biggr)^{\!10r^{2}}\!\!\exp{\biggl(\frac{26r^{3/2}\sqrt{\ln{N}}}{\ln{(r\ln{N})}}\biggr)}. $$
В докладе предполагается рассказать об основных идеях, которые позволили доказать приведенные выше теоремы, а также некоторые другие утверждения, связанные с количеством решений уравнения (1).