Геометрия пространств рациональных функций на комплексных кривых и гипотеза Виттена. Лекция 1

Изучение пространств рациональных функций на комплексных кривых было начато в работах Римана в конце XIX века. Геометрия таких пространств тесно связана с геометрией пространств модулей комплексных кривых, однако в некоторых отношениях она заметно проще – благодаря тому, что каждое такое пространство разветвленно накрывает проективное пространство подходящей размерности. Значимые результаты о пространствах рациональных функций были получены Гурвицем, и пространства рациональных функций часто называют пространствами Гурвица. На рубеже XX и XXI веков эти результаты были существенно дополнены за счет построения подходящих компактификаций пространств Гурвица. В лекциях будут описаны пространства Гурвица и их компактификации, рассказано, как исследование геометрии этих пространств позволяет делать выводы о геометрии пространств модулей кривых с отмеченными точками. В частности, будет объяснено, как доказывать гипотезу Виттена о числах пересечений так называемых $\psi$-классов на пространствах модулей кривых.