Аннотация:
В 2002 г. А.А. Карацуба показал, что знание правильных порядков дробных моментов рядов
Дирихле позволяет получить в задаче о числе нулей дзета -функции Римана на критической
прямой результат, более точный, чем оценка Г. Харди -Дж. Литтлвуда (1921).
В 2017 г. автор получил правильные по порядку верхние и нижние оценки для некоторых успокоенных
$L$ -функций Дирихле и применил их к задаче о числе нулей функции Дэвенпорта -Хейльбронна на
критической прямой. Под моментами успокоенных $L$ -функций Дирихле здесь и далее понимаются интегралы
$$
\int_{T}^{2T}\bigl|L\bigl(\tfrac{1}{2}+it,\chi\bigr)\phi\bigl(\tfrac{1}{2}+it\bigr)\bigr|^{2k}dt,
$$
где функция $\phi\bigl(\tfrac{1}{2}+it\bigr)$ выбирается так, чтобы она не имела нулей нечетного порядка,
а функция $L\bigl(\tfrac{1}{2}+it,\chi\bigr)$ была по возможности близка к константе. Идея введения
успокаивающей функции $\phi\bigl(\tfrac{1}{2}+it\bigr)$ принадлежит А. Сельбергу.
Число $2k$ называется порядком момента. Ранее автор рассматривал только моменты порядков $\tfrac{1}{2}$ и $1$.
В настоящем докладе будут представлены оценки моментов порядков $\tfrac{2}{v}$, где $v$ – произвольное натуральное число, большее $2$.
Сформулируем наш основной результат. Пусть $\varepsilon$ – произвольно малое положительное число, $X=T^{\,\varepsilon}$. Пусть
$$
\sum_{\nu=1}^{\infty}\frac{\alpha(\nu)}{\nu^{s}}\,=\,
\prod\limits_{p\equiv\pm 1(\mmod 5)}\biggl(1-\frac{1}{2vp^{s}}\biggr)\!\!\prod\limits_{p\equiv\pm 2(\mmod 5)}\biggl(1-\frac{\varepsilon}{p^{s}}\biggr),
$$
\begin{equation*}
\beta(\nu)\,=\,
\begin{cases}
\displaystyle \alpha(\nu)\chi_{1}(\nu)\biggl(1-\frac{\log{\nu}}{\log X\mathstrut }\biggr), & \text{при}\;\;\nu<X,\\
0, & \text{при}\;\;\nu\ge X,
\end{cases}
\end{equation*}
где $\chi_{1}(\nu)$ – характер по модулю 5 такой, что $\chi_{1}(2)=i$,
$$
\varphi\bigl(\tfrac{1}{2}+it\bigr)\,=\,\sum_{\nu<X}\frac{\beta(\nu)}{\nu^{\,1/2+it}},\quad
\phi\bigl(\tfrac{1}{2}+it\bigr)=\bigl(\varphi\bigr(\tfrac{1}{2}+it\bigr)\bigr)^{2v}.
$$
Пусть $N_{0}(T)$ — число нулей функции Дэвенпорта–Хейльбронна на отрезке $\bigl[\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{2}+iT\bigr]$. Из приведенной выше теоремы следует, что
$$
N_{0}(2T)\,-\,N_{0}(T)\,\gg\,T(\log T)^{1/2+1/12-\varepsilon}.
$$
Обратная связь: