Modular and $p$-adic methods in the theory of zeta functions

Для простого числа $p$ и положительного целого числа ${m}$, рассматриваются дзета-функции эрмитовых модулярных форм $F=\displaystyle\sum_{H}A(H)q^{H}$ на эрмитовой верхней полуплоскости $\mathcal H_{m}$ степени $m$, где $H$ пробегает положительно определённые полуцелые эрмитовы матрицы степени $m$, то есть $H\in \Lambda_{m}({\mathcal O})$ над кольцом целых ${\mathcal O}$ мнимого квадратичного поля $K$, $q^{H}=\exp(2\pi i\,{\rm Tr}(HZ))$).
Аналитическое $p$-адическое продолжение этих дзета-функций строится путём построения их значений в виде интеграла от $p$ -адических мер, как ограниченных, так и растущих. Ранее эта проблема была решена для зигелевых модулярных форм.
Основной результат формулируется в терминах многоугольника Ходжа $P_{H}(t): [0,d]\to {\mathbb R}$ и многоугольника Ньютона $P_{N}(t)=P_{N,\,p}(t): [0,d]\to {\mathbb R}$ дзета-функции $L_{F}(s)$, с $d=4m$.
Основной результат работы даёт $p$ -адическую аналитическую интерполяцию дзета значений в виде интегралов по мерам типа меры Мазура. Эти $p$ -адические меры строятся по коэффициентам Фурье эрмитовых модулярных форм, и по собственным значениям операторов Гекке для эрмитовой группы. Доказывается целость этих мер при условии равенства значений $P_{H}(t)$ и $P_{N}(t)$ в центральной точке $t=d/2$.
Доказывается также, что в случае положительности разности $h=P_{N}(d/2)-P_{H}(d/2)>0$ $p$-адическая аналитическая интерполяция роста $\log_{p}^{h}(\cdot)$ строится из $h$-допустимых (растущих) мер типа Амис-Велю, в виде интегрального преобразования Меллина по построенным мерам.