Теорема Поста–Глускина–Хоссу для конечных $n$-квазигрупп и самоинвариантные семейства подстановок

Рассматриваются конечные $n$-квазигруппы ($n\ge3$) на конечных множествах $X$, обладающие следующим свойством слабой обратимости. Если на каких-то двух наборах из $n$ аргументов с одинаковыми первыми компонентами квазигрупповая операция даёт одинаковые результаты, то наборы из остальных $n-1$ компонент осуществляют одинаковые левые сдвиги. Для таких n-квазигрупп доказывается аналог теоремы Поста–Глускина–Хоссу, согласно которой имеет место равенство $[x_1\dots x_n]=\sigma(x_1\varphi(x_2)\dots\varphi^{n-1}(x_n))$ для подходящих структуры группы на $X$, автоморфизма $\varphi$ и подстановки $\sigma$ на $X$, которые могут быть произвольными. В классическом варианте теорема формулировалась для более узкого класса $n$-квазигрупп (для $n$-групп), из-за чего использовались дополнительные условия $\varphi^{n-1}(x)=cxc^{-1}$, $c\in X$, $\sigma(x)=xc$. Для более широкого класса $\sigma$-квазигрупп формулировка теоремы оказалась более лаконичной, без лишних деталей технического характера.