Комплексные орисферы на вещественных симметрических пространствах

В ХIX веке – Золотом Веке Геометрии- к числу наиболее эффектных отосились результаты, где вещественные явления выражались через комплексные конструкции (Понселе, Плюкер). Я расскажу об одном современном примере такой ситуации.
И.М.Гельфанд предположил, что гармонический анализ, на симметрческих пространствах, включая полупростые группы Ли, имеет двойника в виде орисферического преобразования, подобно тому как классическое преобразование Фурье связано с преобразованием Радона. Он надеялся, что путь через орисферическое преобразование является наиболее коротким и информативным, более того, что это путь к включению теории представлений в более широкую область гармонического анализа, где группы уже не играют определяющую роль.
Это блестяще подтвердилось в случае римановых симметрических пространств и некоторых псевдоримановых (комплексные группы). Однако в псевдоримановом случае метод, как правило, не работает. Он не работает, когда есть дискретные серии представлений, например, для группы $SL(2,\mathbb{R})$. И.М. Гельфанд много раз спрашивал, можно ли так модифициривать метод, чтобы он работал для произвольных симметрических пространств.
Я расскажу, как это можно сделать, пользуясь комплексной геометрией и анализом, на простейшем примере гиперболоидов произвольной сигнатуры. Причина, по которой метод орисфер не работает, в том, что в псевдоримановом случае недостаточно орисфер: они идут только в некоторых направленях. Мы добавляем некоторые комплексные орисферы, которые в некотором смысле близки к вещественным. Принципиальный вопрос, как модифицировать в связи с этим геометрическим расширением аналитические конструкции. В вещественном случае мы интегрируем функции по орисферам, а чем заменить это в комплексном случае? В ряде случаев мы рассматриваем ядро Коши с особенностями на орисфере. В других случаях это недостаточно и мы определяем орисферическое преобразование со значениями в когомологиях Коши-Римана.