Решетки и упаковки шаров. Лекция

Понятно, как наиболее плотно расположить одинаковые монеты на плоском столе: их центры должны образовывать шестиугольную решетку. В размерности 3 вопрос о наиболее плотной упаковке одинаковых шаров – гипотеза Кеплера – оказался гораздо более сложным: его решили меньше 20 лет назад, причем доказательство занимает больше трех сотен страниц и существенно использует компьютерные (пусть и строгие) вычисления.
Однако в размерностях 8 и 24 есть очень красивые и симметричные решетки – это решетка Коркина-Золотарева (1877, [KZ]) и решетка Лича (1967, см. [L], [CS], [Z]) соответственно.
В марте этого года появились две работы: Марина Вязовска доказала [V], что упаковка решеткой Коркина-Золотарева – действительно плотнейшая в размерности 8, а в соавторстве с Коном, Кумаром, Радченко и Миллером [CKMRV] они получили такой же результат в размерности 24 и для решетки Лича.
Удивительным образом, ход рассуждений этих работ – опирающихся на предложенную Коном и Элкисом в их работе [CE] 2003-го года оценку на плотность любых упаковок – совершенно нагляден, и его рассказу и будет посвящена лекция.
Я буду предполагать, что слушатели хорошо знакомы с понятием скалярного произведения и с комплексной экспонентой. Желательно также минимальное знакомство с рядами Фурье; впрочем, я приведу на лекции все необходимые сведения о них.