Сколько простых кривых на решетке? Лекция

Сколько можно нарисовать различных простых кривых длины $n$ на решетке, начиная из начала координат? Это вопрос важен для многих задач, поскольку ответ позволяет оценивать количество различных комбинаторно-геометрических объектов. Более того, известный химик Поль Флори предложил рассматривать случайные простые кривые как модели положения полимерных молекул в пространстве, что делает их изучение еще более интересным.
В 1981 году физик Бернард Ниенхуис привёл нестрогие аргументы, что количество таких кривых длины $n$ на плоской решетке растёт, как $\mu ^n \cdot n^{11/32}$, где «константа связности» $\mu$ зависит от решётки, а более точная степень 11/32 универсальна. Более того, для шестиугольной решётки $\mu = \sqrt{2 + \sqrt{2}}$.
Мы объясним, откуда могут взяться такие формулы, и расскажем довольно короткое и элементарное доказательство второй формулы (Хьюго Дюминил-Копэн & С. С., Annals of Mathematics, 2012).