Аннотация:
Вещественное число $x$ представлено цепной дробью с целыми неполными частными $a_1,a_2,\dots$ (пишут $x=[a_1,a_2,\dots]$), если
$$
x=a_1+\cfrac1{a_2+\cfrac1{a_3+\dots}} \qquad (a_k>0\text{ при }k>1)
$$
Пример (“Золотое сечение”):
$$
x=(\sqrt5+1)/2=[1,1,1,\dots].
$$
Ж. Л. Лагранж доказал, что последовательность неполных частных (начиная с некоторого места) периодична, если и только если число $x$ — квадратичная иррациональность.
Р. О. Кузьмин доказал, что в последовательности неполных частных почти любого вещественного числа доля $d_m$ равных $m$ неполных частных одинакова (для типичных вещественных чисел). Доля $d_m$ убывает при $m\to\infty$ как $1/m^2$ и её величина была предсказана Гауссом (ничего не доказавшим).
В. И. Арнольда высказал (лет 20 назад) гипотезу, что статистика Гаусса–Кузьмина $\{d_m\}$ выполняется также для периодов цепных дробей корней квадратных уравнений $x^2+px+q=0$ (с целыми $p$ и $q$): если выписать вместе неполные частные, составляющие периоды всех цепных дробей корней таких уравнений с $p^2+q^2\le R^2$, то доля неполного частного $m$ среди них будет стремиться к числу $d_m$ при $R\to\infty$. В. А. Быковский со своими хабаровскими учениками доказали недавно эту давнюю гипотезу.
Несмотря на это, вопрос о статистике не букв, а составленных из них слов $[a_{k+1},a_{k+2},\dots, a_{k+T}]$, которые являются периодами цепных дробей каких-либо корней $x$ уравнений $x^2+px+q=0$ далеко не решён.
А именно, статистика таких слов вовсе не совпадает со статистикой всех случайных слов из неполных частных, удовлетворяющих статистике Гаусса–Кузьмина (даже если слова удовлетворяют ей для всех конечных последовательностей неполных частных, а не только для их индивидуальных значений, $m=1,2,\dots$).
Например, все слова, составляющие периоды, оказываются палиндромами: бесконечная периодическая последовательность неполных частных с таким периодом переходит в себя, если читать её задом наперёд (как фраза “а роза упала на лапу азора”).
Таким же свойством палиндромности обладают цепные дроби квадратных корней из рациональных чисел (для каорней из целых чисел это заметил уже Галуа). Из статистики Гаусса–Кузьмина палиндромность вовсе не вытекает.
Но энтопийно-криптографические соображения показывают, что, кроме палиндромности, периоды цепных дробей квадратных корней из рациональных чисел (и корней квадратных уравнений $x^2+px+q=0$ с целыми коэффициентами) должны обладать ещё целым рядом специальных свойств (которые ещё предстоит открыть).
Другая серия результатов о статистике периодических цепных дробей описывает поведение длины $T(p,q)$ периода цепной дроби корня уравнения $x^2+px+q=0$ (равной единице для золотого сечения). Среднее $\mathrm{Hat}\{T\}(R)$ длины $T(p,q)$ периода по кругу $p^2+q^2\le R^2$ радиуса $R$ растёт с $R$ линейно (хотя сама длина периода $T(p,q)$ растёт по-разному при удалении от нуля по разным направлениям), причём этот рост напоминает поведение квадратного корня из дискриминанта $p^2-4q$ рассматриваемого уравнения. (В случае, когда корни рациональны, период $T$ считается нулём).
В докладе больше гипотез, исследование которых доступно школьникам, особенно вооружённым компьютерами, чем доказанных теорем (и, тем более, доказательств): предполагается, что слушатели откроют на этом пути новые свойства цепных дробей квадратичных иррациональностей.
Обратная связь: