On a functional analog of the Thue-Siegel-Roth theorem

Пусть $f$ – росток (степенное разложение) алгебраической функции в бесконечности. Мы обсудим предельные свойства функциональных дробей с полиномиальными коэффициентами для $f$ (другие названия – диагональные аппроксимации Паде или наилучшие локальные рациональные аппроксимации). Если сравнивать такие функциональные непрерывные дроби для $f$ с обычными непрерывными дробями (с целыми коэффициентами) для действительных чисел, то степень многочлена, коэффициента функциональной дроби, будет аналогична величине целого коэффициента числовой непрерывной дроби. В нашей работе с М. Ятцелевым [1], мы получили сильную (или типа Бернштейна-Сегё) асимптотику знаменателей подходящих функциональной непрерывной дроби для аналитической функции с конечным числом точек ветвления (находящихся в общем положении в комплексной плоскости). Одно из приложений, вытекающих из этого результата, точная эффективная оценка в функциональном аналоге теоремы Туэ-Зигеля-Рота.