Целые точки в выпуклых многогранниках. Лекция 1

Курс представляет собой букет из трёх очень старых и трёх очень новых идей. Основной объект — число целых (т.е. с целыми координатами) точек в многограннике.
1. Зачем нужны целые точки? Несколько примеров: многогранник Ньютона, Теорема Бриона (1988) — для начала без доказательства, просто в качестве фокуса, а также подсчёт целых метрических ленточных графов (2009).
2. Число целых точек в выпуклом многограннике ведёт себя как полином. На плоскости это следует из теоремы Пика. В старших размерностях для доказательства этого факта понадобится элегантная комбинация оператора Тодда (1937) и разложения Грама–Брианшона (1837).
3. Согласно конструкции, в полином, вычисляющий число целых точек, имеет смысл подставлять лишь положительные числа. (А если хочется подставить отрицательные? Кто в детстве не пытался делить на ноль?) Чтобы придать смысл отрицательной подстановке, нужны виртуальные многогранники (1992).
4. Двойственность Эрхарта (1962) и её естественное обобщение (1992).
5. Секрет фокуса Бриона.
У слушателей не предполагается никаких специальных предварительных знаний.