К3 поверхности и автоморфные формы

К3 поверхность – одно из наиболее интересных обобщений эллиптической кривой. Комплексная К3 поверхность принадлежит одновременно к двум классам многообразий, интенсивно изучаемых математиками и физиками: многообразиям Калаби-Яу и голоморфным симплектическим многообразиям. Модули К3 поверхностей степени $2d$, т.е. периоды, определяющие поверхность с точностью до изоморфизма, образуют 19-мерное квазипроективное многообразие. Определение геометрического типа этих многообразий является последним нерешённым вопросом сформулированной в 1957 г. программы А. Вейля о К3 поверхностях. Теория автоморфных форм на ортогональных группах играет ключевую роль в решении этой проблемы (и ее обобщений), которое было предложено мною совместно с K. Hulek (Hannover) и G. Sankaran (Bath) в серии из 5 статей, опубликованных в 2007–2010 гг. В докладе будут представлены основные идеи доказательства, а также новые приложения автоморфных произведений Борчердса в геометрии модулярных многообразий.