Обратные задачи арифметической комбинаторики. Лекция первая

Пусть $\mathbb N$ — множество натуральных чисел, $\mathbb E$ — чётных, $\mathbb P$ — простых, а $\mathbb S$ — множество всех квадратов натуральных чисел. Знаменитую теорему Лагранжа можно компактно сформулировать как равенство $\mathbb S+\mathbb S+\mathbb S+\mathbb S=\mathbb N$, а не менее знаменитую гипотезу Гольдбаха — как $\mathbb P+\mathbb P\supseteq\mathbb E$.
Изучением поведения подмножеств целых чисел (а также более сложных алгебраических структур) относительно имеющихся операций занимается (в тесном сотрудничестве с традиционной теорией чисел) арифметическая комбинаторика. Приведённые выше задачи — “прямые”: в них множество $\mathbb A$ известно, и требуется что-то доказать про более сложные образования типа $\mathbb A+\mathbb A$. Нас же будут интересовать “обратные” задачи, которые (довольно неожиданно!) оказываются не менее сложными и интересными. Пусть, скажем, множество $\mathbb A$ конечно, и всё, что про него известно — это то, что $|\mathbb A+\mathbb A|$ “намного меньше”, чем $|\mathbb A|^2$. Что можно сказать про строение $\mathbb A$? Уже этот кажущийся простым вопрос весьма далёк от окончательного решения, и мы поговорим про задачи такого рода, а также про красивую и богатую теорию, построенную в попытках научиться их решать. Стоит отметить, что эти вещи в последнее время нашли довольно неожиданные применения в довольно далёких областях таких, как, скажем, гармонический анализ и Theoretical Computer Science.