Представления симметрической группы, как первый шаг к категорным представлениям алгебр Ли. Занятие 4

Теория представлений изучает представления матрицами алгебраических структур. Самой базовой алгебраической структурой является группа, а самыми базовыми группами – симметрические группы, также известные, как группы подстановок. Классический подход к построению (и классификации) представлений состоит в том, чтобы взять диаграмму Юнга, по ней построить так называемые симметризаторы Юнга, с помощью которых можно реализовать любое неприводимое представление с комплексными коэффициентами внутри групповой алгебры. Этот подход показывает, что неприводимые представления параметризуются диаграммами Юнга, но не объясняет, почему диаграммы являются «правильным» параметризующим множеством. Более современный подход, принадлежащий Вершику и Окунькову, устраняет этот недостаток, индуктивно строя представления симметрических групп. Этот подход является одной из отправных точек для теории представлений алгебр Ли в категориях, одном из самых ярких направлений в теории представлений 2000-ых, и позволяет получать новые результаты о представлениях симметрических групп над полями положительной характеристики, где многие базовые результаты, основной из которых – вычисление характеров неприводимых представлений, остаются неизвестными.
В своих четырех лекциях я введу основные сведения из теории представлений конечных групп, объясню подход Вершика и Окунькова к представлениям симметрических групп. Если останется время, я расскажу о том, что происходит в положительной характеристике и при чем тут алгебры Ли. Курс должен быть понятен студентам, начиная с первого курса, хорошо освоившим курс алгебры.