Числа Гурвица. Занятие 1

Зададимся тремя «почти школьными» вопросами:

• Сколько существует различных деревьев на $n$ пронумерованных вершинах?
• Сколькими способами можно разложить цикл длины $n$ в произведение $(n-1)$ транспозиции?
• Критическое значение – значение в точке, производная в которой обращается в ноль. Сколько существует многочленов степени $n$ (со старшим коэффициентом $1$ и следующим за ним, равным $0$) с заданными $(n-1)$ критическим значением?

Связь между этими задачами, по-видимому впервые, обнаружил в конце XIX века немецкий математик Адольф Гурвиц. По очереди разбираясь в этих трёх проблемах, мы затронем начала топологии – такие важные понятия, как петли и их гомотопии, разветвлённые накрытия и многое другое. Мы выясним, почему на многочлен от комплексной переменной можно смотреть как на разветвленное накрытие сферы собой, и это позволит перейти от третьего вопроса к первым двум. Если останется время мы обсудим другие важные и интересные объекты, связанные с этими задачами, такие как пространства модулей кривых.
Мы надеемся, что курс будет доступен как студентам, так и школьникам. Полезно знать, что такое комплексные числа, но и это постараемся напомнить.