Критические подсистемы в случае Соколова на $e(3)$ и его обобщении на двухполевой гиростат

Интегрируемым случаем В.В. Соколова на алгебре $e(3)$ называется система уравнений
\begin{equation} \tag{1} \label{eq1} \begin{array}{l} \displaystyle \dot{\boldsymbol M}={\boldsymbol M}\times\frac{\partial H}{\partial{\boldsymbol M}}+ {\boldsymbol\alpha}\times\frac{\partial H}{\partial{\boldsymbol\alpha}},\quad\dot{\boldsymbol \alpha}={\boldsymbol\alpha}\times\frac{\partial H}{\partial{\boldsymbol M}}, \\ H=M_1^2+M_2^2+2M_3^2+2\varepsilon_1(\alpha_3M_2-\alpha_2M_3)-2\varepsilon_2\alpha_1. \end{array} \end{equation}
Здесь $({\boldsymbol M}, {\boldsymbol\alpha})\in \mathbb{R}^6$ – фазовые переменные, $\varepsilon_1$ и $\varepsilon_2$ – параметры.
Дополнительный интеграл $K$ указан в [1]. Он может быть, как и известный интеграл Ковалевской, представлен в виде суммы двух квадратов
$$
\begin{array}{l} K=\left[\frac{1}{2}(M_1^2-M_2^2)+\varepsilon_2\alpha_1+\varepsilon_1(M_3\alpha_2-M_2\alpha_3) -\frac{1}{2}\varepsilon_1^2{\boldsymbol\alpha}^2\right]^2+\\ \qquad +\left[M_1M_2+\varepsilon_2\alpha_2-\varepsilon_1(M_3\alpha_1-\alpha_3M_1)\right]^2. \end{array}
$$

Система \eqref{eq1} при добавлении второго силового поля (например, магнитного) также оказывается интегрируемой по Лиувиллю и называется, в терминологии работы [2], обобщенным двухполевым гиростатом. Исследование фазовой топологии обобщенного двухполевого гиростата начато в работах [3]–[5] с описания критических подсистем. В докладе представлены последние результаты. В частности, все известные критические подсистемы этой неприводимой задачи представлены в каноническом виде пары инвариантных соотношений $f_1=0,f_2=0$ на орбите коприсоединенного представления, такой, что скобка Пуассона $\{f_1,f_2\}$ является частным интегралом подсистемы, нули которого определяют вырождение индуцированной симплектической структуры. Тот факт, что в этом случае найдены все критические подсистемы, пока не доказан. Показано, что особенности алгебраической кривой, ассоциированной с соответствующим представлением Лакса, не находятся в строгом соответствии с поверхностями, несущими бифуркационную диаграмму. В частности, кривая всегда имеет некоторую небифуркационную особенность, и наоборот, бифуркационная поверхность $K=0$ не является особенностью алгебраической кривой. Это связано с тем, что $L$-матрицы представления [2] не образуют подалгебру.
В случае \eqref{eq1} дано исчерпывающее описание критических подсистем в виде пар инвариантных соотношений. Показано, что все они имеют аналог среди подсистем двухполевого гиростата, но не все продолжают существовать после предельного перехода к классическому случаю Ковалевской.
В результате получены уравнения несущих поверхностей бифуркационной диаграммы, явно вычислены типы всех критических точек отображения момента. Более того, наличие аналитического разделения переменных для случая \eqref{eq1} позволяет полностью описать фазовую топологию с применением метода булевых функций, развитого для алгебраически разделимых систем [6].
Работа выполнена при поддержке гранта РФФИ No. 14-01-00119.