Неслучайное в случайном или вероятностные законы случая. Занятие 1

Очень часто людям приходится принимать важные решения на основе вероятностных наблюдений, то есть имея знания об аналогичных процессах в прошлом. «Будет ли завтра дождь?», «Влияет ли лекарство на самочувствие больных?», «Какая будет сегодня загруженность дорог вечером?» – эти и другие подобные вопросы волнуют многих.
Однако, в реальной жизни, в отличие от строгих математических моделей, исходы испытаний зависят от воли случая или от факторов, которые не были приняли во внимание. Так, например, загруженность дорог сегодня может быть намного больше, чем обычно, если погода оказалась хорошей и люди поехали на дачу. Или может показаться, что тестируемое лекарство дает намного больший эффект просто потому, что на малом количестве испытаний нам просто повезло. Как же тогда использовать знания о прошлом, если точно предсказать будущее все равно не получится?
Ответ состоит в том, что в случайных процессах вокруг нас присутствуют определенные закономерности, выявив и опираясь на которые, можно давать достаточно успешные прогнозы. О выявлении этих закономерностей и об инструментах их исследования мы и будем говорить.

Основными обсуждаемыми сюжетами курса будут:

• Закон больших чисел или почему системы многих независимых случайных элементов ведут себя как неслучайные в первом приближении.
• Центральная предельная теорема или как оценить размер колебаний характеристик этих систем относительно неслучайного приближения.

Нашей целью будет как можно более полно проиллюстрировать обсуждаемые понятия на большом количестве ярких и интересных примеров. В том числе мы планируем успеть рассказать о следующем:

• Как пользуясь вероятностным подходом посчитать число «пи»?
• Как в теории вероятностей появляется свертка распределений и почему свертки распределений приближаются к нормальному?
• Инвариантность нормального распределения относительно свертки.
• Почему распределение Бернулли стремится к распределению Пуассона при увеличении числа опытов.
• Немного о статистических гипотезах и их проверке.
• Полукруговое распределение Вигнера для собственных чисел случайных матриц с независимыми элементами.
• Диверсификация рисков в финансах: почему выгоднее иметь портфель ценных бумаг с небольшими доходностями вместо вложения всех денег в одну бумагу с большей доходностью.
• Коэффициент Шарпа как мера неслучайности наблюдавшихся заработков. Другие возможные меры неслучайности.
• Практическое применение локальной и интегральной теорем Лапласа.
• Метод Монте-Карло для оценки фильтров и тестов.
• Аппроксимация движения цен случайным блужданием: естественные вопросы и проверка гипотез о случайности.

Знание основных понятий теории вероятности, безусловно, приветствуется, но не является обязательным. Мы постараемся не останавливаться подробно на сложных технических доказательствах и не лезть глубоко в теорию, а наоборот, обсудить как можно больше конкретных проверяемых «руками» вопросов.