О спектре задачи Штурма–Лиувилля с весом-мультипликатором из пространства Соболева с отрицательным индексом гладкости

Изучается спектральные свойства задачи
\begin{gather*} -y''=\lambda\rho y,\\ y(0)=y(1)=0, \end{gather*}
с весом $\rho$ из пространства $\mathcal M$, где $\mathcal M$ — мультипликаторы из пространства $\overset\circ W{}^1_2[0;1]$ в $\overset\circ W{}^{-1}_2[0;1]$.
Получено точное описание класса дискретных самоподобных мультипликаторов из $\mathcal M$, которые являются обобщенными производными кусочно-постоянных самоподобных функций. Основные свойства кусочно-постоянных самоподобных функций определяется параметрами самоподобия $a$ и $d$ ($0<a<1$, $d>0$ — горизонтальное и вертикальное масштабирования соответственно). Доказано, что $\rho\in\mathcal M$ в том и только том случае, когда $ad\leqslant 1$.
Установлено, что при $ad<1$ спектральная задача имеет чисто дискретный спектр, получены асимптотические формулы для собственных значений.
При $ad=1$ задача имеет непрерывный спектр, заполняющий отрезок.
Работа одного из авторов поддержана грантами РФФИ № 13-01-00705 и № 13-01-12476, другого — РНФ № 14-11-00754.