О приближении функций в весовом пространстве Бергмана

Задачи аппроксимационного содержания – вычисления точных значений различных $n$-поперечников и построения наилучших линейных методов приближения заданного класса функций относятся к числу наиболее важных экстремальных задач. В пространстве Харди аналитических в единичном круге функций в ряде случаев получены окончательные результаты. В случае весовых пространствах Бергмана указанные задачи менее изучены. Пусть $U_{R}:=\{z\in\mathbb{C}: |z|<R\}$, $R\ge1$, $U:=U_{1}$; $A(U_{R})$ – множество аналитических в круге $U_{R}$ функций; ${\mathcal L}_{q}:={\mathcal L}_{q}(U)$, $1\le q<\infty$, – пространство комплекснозначных в $U$ функций $f$, для которых $\|f\|_{{\mathcal{L}}_{q}}=\biggl(\displaystyle\frac1{2\pi}\iint_{(U)}|f(z)|^{q}\,dx\,dy\biggr)^{1/q}<\infty$.
Пусть $\gamma(|z|)\ge0$ – произвольная суммируемая в $U$ функция; ${\mathcal L}_{q,\gamma}:={\mathcal L}_{q}(U;\gamma)$ – пространство комплекснозначных в круге $U$ функций $f,$ для которых $\gamma^{1/q}f\in{\mathcal L}_{q}$ с нормой $\|f\|_{{\mathcal L}_{q,\gamma}}:=\|\gamma^{1/q}f\|_{{\mathcal L}_{q}}$. Под $\mathscr{B}_{q,\gamma}$ понимаем пространство функций $f\in A(U)$ таких, что $f\in{\mathcal L}_{q,\gamma},$ а под $H_{q,R}:=H_{q}(U_{R})$ будем понимать пространство Харди функций $f\in A(U_{R})$ с конечной нормой $\|f\|_{q,R}$ [1,2]. Пусть $\Phi(t)$, $ t\ge0$, – произвольная непрерывная неотрицательная неубывающая функция такая, что $\Phi(0)=0$. Используя $\Phi$ в качестве мажоранты, для произвольных $r\in\mathbb{N}$, $1\le q<\infty$, $R\ge1$, $\mu\ge1$ и $0<h\le\pi$ введем в рассмотрение класс функций
\begin{equation*} W_{q,R}^{(r)}(\Phi;\mu):=\left\{f\in A(U_{R}): \frac{1}{h}\int_{0}^{h}\omega_{2}(f^{(r)};2t)_{H_{q,R}}\left[1+(\mu^{2}-1)\sin\frac{\pi t}{2h}\right]dt\le\Phi(h)\right\}. \end{equation*}

Полагаем: $(1-\cos x)_{*}:=\{1-\cos x, \ \text{если} \ 0\le x\le\pi; \, 2, \ \text{если} \ x\ge\pi\}, \alpha_{n,r}=n!/(n-r)!$.
Theorem. Пусть $R\ge1$, $1\le q<\infty$, $n,r\in\mathbb{N}$, $n>r$ и мажоранта $\Phi$ при любом $0<h\le\pi$ удовлетворяет ограничению
\begin{equation}\label{N315:1} \frac{\Phi(h)}{\Phi(\pi/(2\mu(n-r)))}\ge \frac{\pi}{\pi-2}\cdot\frac{1}{h}\int_{0}^{h}(1-\cos (n-r)t)_{*}\left\{1+(\mu^{2}-1)\sin\frac{\pi t}{2h}\right\}dt. \end{equation}

Тогда имеют место равенства
\begin{gather*} b_{n}(W_{q,R}^{(r)}(\Phi;\mu);\mathscr{B}_{q,\gamma})=b_{n}(W_{q,R}^{(r)}(\Phi;\mu);{\mathcal L}_{q,\gamma})=d^{n}(W_{q,R}^{(r)}(\Phi;\mu);\mathscr{B}_{q,\gamma}) \\ =d^{n}(W_{q,R}^{(r)}(\Phi;\mu);{\mathcal L}_{q,\gamma})=d_{n}(W_{q,R}^{(r)}(\Phi;\mu);{\mathcal L}_{q,\gamma})=\delta_{n}(W_{q,R}^{(r)}(\Phi;\mu);{\mathcal L}_{q,\gamma}) \\ =\frac{\pi R^{r-n}}{2\mu(\pi-2)\alpha_{n,r}}\Phi\left(\frac{\pi}{2\mu(n-r)}\right) \left(\int_{0}^{1}\rho^{nq+1}\gamma(\rho)d\rho\right)^{1/q}, \end{gather*}
где $b_{n}(\cdot)$-бернштейновский, $d^{n}(\cdot)$-гельфандовский, $d_{n}(\cdot)$-колмогоровский, $\delta_{n}(\cdot)$-линейный $n$-поперечники. Множество мажорант $\Phi,$ удовлетворяющих условию \eqref{N315:1}, не пусто.