|
|
Международная конференция по функциональным пространствам и теории приближения функций, посвященная 110-летию со дня рождения академика С. М. Никольского
27 мая 2015 г. 15:20–15:45, Приближения функций и гармонический анализ, г. Москва, МИАН
|
|
|
|
|
|
О приближении функций в весовом пространстве Бергмана
М. Ш. Шабозов Институт математики имени А. Джураева АН Республики Таджикистан
|
Количество просмотров: |
Эта страница: | 196 | Материалы: | 48 |
|
Аннотация:
Задачи аппроксимационного содержания – вычисления точных значений
различных $n$-поперечников и построения наилучших линейных методов
приближения заданного класса функций относятся к числу наиболее
важных экстремальных задач. В пространстве Харди аналитических в
единичном круге функций в ряде случаев получены окончательные
результаты. В случае весовых пространствах Бергмана указанные задачи
менее изучены. Пусть $U_{R}:=\{z\in\mathbb{C}: |z|<R\}$, $R\ge1$, $U:=U_{1}$; $A(U_{R})$ – множество аналитических в круге $U_{R}$
функций; ${\mathcal L}_{q}:={\mathcal L}_{q}(U)$, $1\le q<\infty$, –
пространство комплекснозначных в $U$ функций $f$, для которых
$\|f\|_{{\mathcal{L}}_{q}}=\biggl(\displaystyle\frac1{2\pi}\iint_{(U)}|f(z)|^{q}\,dx\,dy\biggr)^{1/q}<\infty$.
Пусть $\gamma(|z|)\ge0$ – произвольная суммируемая в $U$ функция;
${\mathcal L}_{q,\gamma}:={\mathcal L}_{q}(U;\gamma)$ – пространство
комплекснозначных в круге $U$ функций $f,$ для которых
$\gamma^{1/q}f\in{\mathcal L}_{q}$ с нормой $\|f\|_{{\mathcal L}_{q,\gamma}}:=\|\gamma^{1/q}f\|_{{\mathcal L}_{q}}$. Под $\mathscr{B}_{q,\gamma}$ понимаем пространство функций $f\in A(U)$
таких, что $f\in{\mathcal L}_{q,\gamma},$ а под $H_{q,R}:=H_{q}(U_{R})$
будем понимать пространство Харди функций $f\in A(U_{R})$ с конечной
нормой $\|f\|_{q,R}$ [1,2]. Пусть $\Phi(t)$, $ t\ge0$, – произвольная
непрерывная неотрицательная неубывающая функция такая, что
$\Phi(0)=0$. Используя $\Phi$ в качестве мажоранты, для произвольных
$r\in\mathbb{N}$, $1\le q<\infty$, $R\ge1$, $\mu\ge1$ и $0<h\le\pi$
введем в рассмотрение класс функций
\begin{equation*}
W_{q,R}^{(r)}(\Phi;\mu):=\left\{f\in A(U_{R}):
\frac{1}{h}\int_{0}^{h}\omega_{2}(f^{(r)};2t)_{H_{q,R}}\left[1+(\mu^{2}-1)\sin\frac{\pi
t}{2h}\right]dt\le\Phi(h)\right\}.
\end{equation*}
Полагаем: $(1-\cos x)_{*}:=\{1-\cos x, \ \text{если}
\ 0\le x\le\pi; \, 2, \ \text{если} \ x\ge\pi\}, \alpha_{n,r}=n!/(n-r)!$.
Theorem.
Пусть $R\ge1$, $1\le q<\infty$, $n,r\in\mathbb{N}$, $n>r$ и мажоранта $\Phi$ при любом $0<h\le\pi$ удовлетворяет
ограничению
\begin{equation}\label{N315:1}
\frac{\Phi(h)}{\Phi(\pi/(2\mu(n-r)))}\ge
\frac{\pi}{\pi-2}\cdot\frac{1}{h}\int_{0}^{h}(1-\cos
(n-r)t)_{*}\left\{1+(\mu^{2}-1)\sin\frac{\pi t}{2h}\right\}dt.
\end{equation}
Тогда имеют место равенства
\begin{gather*}
b_{n}(W_{q,R}^{(r)}(\Phi;\mu);\mathscr{B}_{q,\gamma})=b_{n}(W_{q,R}^{(r)}(\Phi;\mu);{\mathcal L}_{q,\gamma})=d^{n}(W_{q,R}^{(r)}(\Phi;\mu);\mathscr{B}_{q,\gamma})
\\
=d^{n}(W_{q,R}^{(r)}(\Phi;\mu);{\mathcal
L}_{q,\gamma})=d_{n}(W_{q,R}^{(r)}(\Phi;\mu);{\mathcal
L}_{q,\gamma})=\delta_{n}(W_{q,R}^{(r)}(\Phi;\mu);{\mathcal
L}_{q,\gamma})
\\
=\frac{\pi R^{r-n}}{2\mu(\pi-2)\alpha_{n,r}}\Phi\left(\frac{\pi}{2\mu(n-r)}\right)
\left(\int_{0}^{1}\rho^{nq+1}\gamma(\rho)d\rho\right)^{1/q},
\end{gather*}
где $b_{n}(\cdot)$-бернштейновский, $d^{n}(\cdot)$-гельфандовский,
$d_{n}(\cdot)$-колмогоровский, $\delta_{n}(\cdot)$-линейный
$n$-поперечники. Множество мажорант $\Phi,$ удовлетворяющих условию
\eqref{N315:1}, не пусто.
Дополнительные материалы:
abstract.pdf (186.1 Kb)
Список литературы
-
С. Б. Вакарчук, М. Ш. Шабозов, “О поперечниках классов функций, аналитических в круге”, Матем. сб., 201:8 (2010), 3–22
; S. B. Vakarchuk, M. Sh. Shabozov, “The widths of classes of analytic functions in a disc”, Sb. Math., 201:8 (2010), 1091–1110 -
М. Ш. Шабозов, М. Р. Лангаршоев, ДАН, 450:5 (2013), 518–521
; M. Sh. Shabozov, M. R. Langarshoev, “The best linear methods and values of widths for some classes of analytic functions in the Bergman weight space”, Dokl. Math., 87:3 (2013), 338–341
|
|