Достаточные условия существования непрерывной $\varepsilon$-выборки

Рассмотрим произвольное множество $M$ в некотором линейном нормированном пространстве $(X,\|\cdot\|)$. Через $\varrho(x,M)$ обозначим величину $ \inf\limits_{y\in {M}}\|y-x\|$ – расстояние от точки $x$ до множества $M$, а через $P_Mx$ – множество ближайших точек в $M$ для $x$, т.е. множество $\{y\in M\mid \|y-x\|=\varrho(x,M)\}$.
Определение. Будем говорить, что множество $M$ обладает непрерывной аддитивной (мультипликативной) $\varepsilon$-выборкой, если существует отображение $\varphi\in C(X,M)$ такое, что $\|\varphi(x)-x\|\leq \varrho(x,M)+\varepsilon$ ($\|\varphi(x)-x\|\leq (1+\varepsilon)\varrho(x,M)$) для всех $x\in X$. \end{definition}
Определение. Множество $A$ в $(X,\|\cdot\|)$ называется бесконечно связным, если для всех $n\in \mathbb{N}$ и единичного шара $B\subset \mathbb{R}^n$ и произвольного непрерывного отображения $\varphi:\partial B\rightarrow A$ существует непрерывное продолжение $\tilde{\varphi}: B\to A$.
Определим более слабое условие устойчивости многозначного отображения, чем его полунепрерывность сверху относительно одностороннего хаусдорфова расстояния.
Определение. Отображение $F\colon X\to 2^X$ назовем устойчивым сверху, если $F(x)\neq \emptyset$ для всех $x\in X,$ и для любых $x_0\in X$ и $\varepsilon>0$ найдется такое число $\delta>0,$ что $\varrho(y,F(x_0))-\varrho(y,F(x))\leqslant\varepsilon$ для всех $y\in E$ и $x\in X$: $\|x-x_0\|\leqslant\delta$, где $E\subset X$ – произвольное компактное множество.
Отображение $F\colon X\to 2^X$ назовем регулярным, если на любом компакте $K\subset X$ для некоторого $\varepsilon >0$ окрестности $O_r(F(x))$ – бесконечно связны для всех $r\in(0,\varepsilon)$ и $x\in K$.
Теорема. Пусть $M$ – замкнутое множество в банаховом пространстве, метрическая проекция $P_M$ на которое устойчива сверху и регулярна. Тогда $M$ обладает непрерывной аддитивной и мультипликативной $\varepsilon$-выборкой.
Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (13-01-00022-a).