О приближенном решении одного класса поверхностных интегральных уравнений методом коллокации

Известно (см. [1]), что внешняя краевая задача Дирихле для уравнения Гельмгольца приводится к граничному интегральному уравнению
\begin{equation} \label{N446:GrindEQ__1_} \rho \left(x\right)+\left(A\rho \right)\, \left(x\right)=g\left(x\right), \end{equation}
где $\left(A\rho \right)\, \left(x\right)=\left(\tilde{K}\rho \right)\, \left(x\right)-i\eta \, \left(L\rho \right)\, \left(x\right)$, $g\, \left(x\right)=\left(Tf\right)\, \left(x\right)-i\eta \, \, \left(\left(Kf\right)\, \left(x\right)-f\left(x\right)\right)$,
\begin{gather*} (\tilde{K}\rho )\left(x\right)=2\int _{S}\frac{\partial \Phi _{k} \left(x,y\right)}{\partial \vec{n}\, \left(x\right)} \, \rho \left(y\right)\, dS_{y} ,\quad (L\rho )\left(x\right)=2\int _{S}\Phi _{k} \left(x,y\right)\, \rho \left(y\right)\, dS_{y} , \\ (Tf)\left(x\right)=2\frac{\partial }{\partial \vec{n}\left(x\right)} \left(\, \int _{S}\frac{\partial \Phi _{k} \left(x,y\right)}{\partial \vec{n}\, \left(y\right)} \, f\left(y\right)\, dS_{y} \right), \\ (Kf)\left(x\right)=2\int _{S}\frac{\partial \Phi _{k} \left(x,y\right)}{\partial \vec{n}\, \left(y\right)} \, f\left(y\right)\, dS_{y} , \quad x\in S, \end{gather*}
$S$ – замкнутая и дважды непрерывно дифференцируемая поверхность в $\mathbb{R}^3 $, $\Phi _{k} \left(x,y\right)=\, e^{ik\, \left|x-y\right|} /\left(4\pi \, \left|x-y\right|\right)\; ,\; \; x,y\in \mathbb{R}^{3} ,\; x\ne y$, $k-$ волновое число, причем $\mathrm{Im}\, k\ge 0\, $, $\eta \, \ne 0-$ произвольное действительное число, причем $\eta\,\mathrm{Re}\,k\ge 0$, $f\left(x\right)-$ дважды непрерывно дифференцируемая функция на $S$, а $\rho \left(x\right)-$ искомая непрерывная функция на $S$.
Уравнение \eqref{N446:GrindEQ__1_} имеет то преимущество, что его решение является нормальной производной решения внешней краевой задачи Дирихле для уравнения Гельмгольца на $S$. При этом функция
$$ u\left(x\right)=\int _{S}\left\{f\left(y\right)\frac{\partial \Phi _{k} \left(x,y\right)}{\partial \vec{n}\, \left(y\right)} \, -\rho \left(y\right)\, \Phi _{k} \left(x,y\right)\right\}\, dS_{y},\quad x\in \mathbb{R}^3 \backslash \bar{D}, $$
является решением внешней краевой задачи Дирихле для уравнения Гельмгольца, где $D\subset \mathbb{R}^3 -$ ограниченная область с границей $S$. Кроме того, отметим, что решение уравнения \eqref{N446:GrindEQ__1_} является решением уравнения моментов (см. [1]).
Так как интегральное уравнение \eqref{N446:GrindEQ__1_} в замкнутом виде решается лишь в очень редких случаях и до сих пор не исследованы приближенные методы решения уравнения \eqref{N446:GrindEQ__1_}, то первостепенное значение приобретает разработка приближенных методов решения интегрального уравнения \eqref{N446:GrindEQ__1_} с соответствующим теоретическим обоснованием.
В данной работе предложен новый метод построения кубатурных формул для поверхностных сингулярных интегралов и дано обоснование метода коллокации к граничному интегральному уравнению \eqref{N446:GrindEQ__1_}.