Спектр и формула следа возмущения одного двумерного оператора в полосе

Рассмотрим оператор $L=L_0+V$ в пространстве $\mathcal L_2 (\Pi)$, где $\Pi=\{ (x;y):x\in\mathbb R,\ y\in [0;\pi] \}$, $L_0$ – оператор задачи Дирихле: $L_0=-\frac{\partial^2}{\partial x^2}+x^2-\frac{\partial^2}{\partial y^2}$, $V$ – оператор умножения в пространстве $\mathcal L_2 (\Pi)$ на ограниченную измеримую вещественную функцию $V(x,y)$, финитную по переменной $x$ (т.е. для некоторого $r>0$ $V(x,y)\equiv 0$, $|x|\ge r$).
Пусть $P^{(1)}_s$, $P^{(2)}_l$ – ортопроекторы на собственные подпространства одномерных операторов Лапласа задачи Дирихле и гармонического осциллятора, соответствующие собственным числам $s^2$, $s=1,2,\dots$, и $2l+1,$ $l=0,1,\dots$, соответственно.
Теорема 1. Спектр оператора $L_0$ состоит из собственных чисел $\lambda_n=n$, $n\in\mathbb N\setminus\{ 1;3\}$ с кратностями
$$ \nu_n=\begin{cases} \left[ \frac{\sqrt{n}}{2}\right],&\text{если } \left( 2\left[\frac{\sqrt{n}}{2}\right]\right)^2\le \lambda_n\leq\left( 2\left[\frac{\sqrt{n}}{2}\right]+1\right)^2, \\ \left[\frac{\sqrt{n}}{2}\right]+\frac{(-1)^n+1}{2},&\text{если }\left(2\left[\frac{\sqrt{n}}{2}\right]+1\right)^2< \lambda_n<\left( 2\left[\frac{\sqrt{n}}{2}\right]+2\right)^2, \end{cases} $$
причем $P_n=\sum\limits_{s=1}^{\nu_n} P^{(1)}_s \otimes P^{(2)}_{n/2-(s^2+1)/2}$.
Теорема 2. Пусть $V(x;y)\in C^{(2)}_0(\Pi )$, тогда для собственных чисел $\mu_i^{(n)}$, $i=1,2,\dots, \nu_n$, $n\in\mathbb N\setminus\{ 1;3\}$, оператора $L$ справедливо тождество
\begin{equation} \sum_{n\in\mathbb N\setminus\{ 1;3\} }\biggl( \sum_{i=1}^{\nu_n} (\lambda_n-\mu_{i}^{(n)})+\mathrm{tr}\, (P_nV)\biggr) =\frac{1}{12\pi}\int_{\Pi} V^2(x,y)\mathrm{d}\, x\mathrm{d}\, y. \label{N378:trf-1} \end{equation}

Доказательство последней теоремы основано на методике работы [1].
Работа выполнена при поддержке гранта № 01201456408 Минобрнауки РФ.