О наилучшем приближении функций алгебраическими полиномами в пространстве $L_{2,\mu}$

Пусть $L_{2,\mu}:=L_2\left(\mu(x);[-1,1]\right)$, $\mu(x)=\left(1-x^2\right)^{-1/2}$, – пространство вещественных функций $f,$ определенных на отрезке $[-1,1],$ для которых $\mu^{1/2}f$ суммируемо с квадратом $\displaystyle\|f\|_{L_{2,\mu}}=\Bigl(\int_{-1}^{1}\mu(x)f^2(x)\,dx\Bigr)^{1/2}<\infty$. Для произвольной $f\in L_{2,\mu}$ введем обобщенный модуль непрерывности $m$-го порядка: $\omega_{m}(f;t)=\sup\{\left\|\Delta_{h}^{m}(f;\cdot)\right\|_{L_{2,\mu}}:|h|\leq t\}$, где
$$ \Delta_h^m(f;x)=\sum_{k=0}^m(-1)^{m-k}\binom{m}{k}F^k_hf(x), $$
а $F_hf(x)$ – оператор введенный в [1] и использованный в [2], [3], для получения точных неравенств Джексона–Стечкина некоторых классов функций.
Пусть теперь ${\mathcal{D}}=\displaystyle{(1-x^{2})\frac{d^{2}}{dx^{2}}-x\frac{d}{dx}}$ – дифференциальный оператор второго порядка. Операторы высших порядков рекуррентно определим, полагая ${\mathcal D}^{r}f={\mathcal D}({\mathcal D}^{r-1}f)$, $(r=2,3,\dots)$. Символом $L^{(r)}_{2,\mu}$ $r\in \mathbb{N}$, обозначим класс функций $f\in L_{2,\mu}$, которые имеют локально абсолютно непрерывные производные $(2r-1)$-го порядка, таких, для которых ${\mathcal D}^rf\in L_{2,\mu}$. Равенством $\varepsilon_{n-1}(f)_{2,\mu}:=\inf\{\|f-p_{n-1}\|_{L_{2,\mu}}: p_{n-1} \in{\cal P}_{n-1}\}$ определим наилучшее приближение функции $f\in L_{2,\mu}$ множеством ${\mathcal P}_{n-1}$ – алгебраических полиномов степени $n-1$.
Теорема. Пусть $n,m\in\mathbb{N}$, $r\in\mathbb{Z}_{+}$, $0<p\le2$, $0<h\le\pi$, $\varphi(t)\ge0$ – суммируемая не эквивалентная нулю на $[0,h]$ функция. Тогда справедливы неравенства
\begin{equation*} \{\alpha_{n,m,r,p}(\varphi;h)\}^{-1}\le\sup_{f\in L_{2,\mu}^{(r)}({\mathcal D})}\,\frac{\varepsilon_{n-1}(f)_{2,\mu}}{\left(\displaystyle\int_{0}^{h}\omega_{m}^{p}({\mathcal D}^{r}f;t)_{2,\mu}\,\varphi(t)\,dt\right)^{1/p}}\le\Bigl\{\inf_{n\le k<\infty}\alpha_{k,m,r,p}(\varphi;h)\Bigr\}^{-1}, \end{equation*}
где
\begin{equation*} \alpha_{k,m,r,p}(\varphi;h)=\left(k^{2rp}\int_{0}^{h}(1-\cos kt)^{mp}\varphi(t)\,dt\right)^{1/p}. \end{equation*}