Система Дирака с негладким потенциалом

Мы изучаем оператор Дирака $L_P$, порожденный в пространстве $H=L_2[0,\pi]\oplus L_2[0,\pi]\ni\mathbf y$ дифференциальным выражением
\begin{gather*} \ell_P(\mathbf y)=B\mathbf y'+P\mathbf y,\quad \text{где}\\ B = \begin{pmatrix} -i & 0 \\ 0 & i \end{pmatrix}, \qquad P(x) = \begin{pmatrix} p_1(x) & p_2(x) \\ p_3(x) & p_4(x) \end{pmatrix}, \qquad \mathbf y(x)=\begin{pmatrix}y_1(x)\\ y_2(x)\end{pmatrix}.\notag \end{gather*}
Функции $p_j$, $j=1,2,3,4$, предполагаются суммируемыми на отрезке $[0,\pi]$ и комплекснозначными. Краевые условия имеют вид
\begin{equation*} U(\mathbf y)=C\mathbf y(0)+D\mathbf y(\pi)=\begin{pmatrix}u_{11} & u_{12}\\ u_{21} & u_{22}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}y_1(0)\\ y_2(0)\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}u_{13} & u_{14}\\ u_{23} & u_{24}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}y_1(\pi)\\ y_2(\pi)\end{pmatrix}. \end{equation*}
При этом строки матрицы
$$ \mathcal U:=(C,\,D)=\begin{pmatrix}u_{11}&u_{12}&u_{13}&u_{14}\\ u_{21}&u_{22}&u_{23}&u_{24}\end{pmatrix} $$
мы считаем линейно независимыми. Оператор $L_{P,U}$, порожденный дифференциальным выражением $\ell_P$ и такими краевыми условиями является регулярным по Биркгофу, если определители матриц
$$ \begin{pmatrix}u_{11} & u_{14}\\ u_{21} & u_{24}\end{pmatrix},\qquad \begin{pmatrix}u_{12} & u_{13}\\ u_{22} & u_{23}\end{pmatrix} $$
отличны от нуля.
Основными результатами являются теоремы об асимптотическом поведении собственных значений и собственных функций таких операторов и теорема о базисности Рисса системы собственных и присоединенных функций (в случае, когда краевые условия не являются сильно регулярными, имеет место базисность Рисса из двумерных подпространств). При этом остаточные члены в асимптотических формула зависят от пространства, в котором лежит потенциал. Мы рассмотрим случаи $P\in L_\nu[0,\pi]$, $\nu\in[1,2]$, и случай пространств Бесова $P\in B^\theta_{1,\infty}[0,\pi]$, $\theta\in(0,1)$. Доклад основан на результатах работы [1].