К аппроксимации модифицированных функций Бесселя комплексного порядка

Рассмотрены вопросы полиномиальной аппроксимации решений линейных дифференциальных уравнений с полиномиальными коэффициентами и построения полиномиальных приближений ядер интегральных преобразований типа Лебедева. Предложена модификация Тау метода с минимальной невязкой для нахождения полиномиальных приближений решений дифференциальных уравнений второго порядка с полиномиальными коэффициентами. Показано, что предлагаемая нами в Тау методе невязка в виде смещенного многочлена Чебышева со специальным образом подобранными сдвигом и нормировкой, в ряде важных случаев является минимальной в равномерной метрике на $ [0,1] $ среди всех возможных полиномиальных невязок. На примере вычисления модифицированной функции Бесселя второго рода $ K_{i\beta }(x) $ показаны преимущества этой модификации по сравнению с другими вариантами Тау метода.
Предложена вычислительная схема применения Тау метода для решения систем линейных дифференциальных уравнений второго порядка с полиномиальными коэффициентами. Получены рекуррентные формулы [1] для коэффициентов канонических вектор-полиномов, удобные для проведения вычислений. Настоящая схема интегральной формы Тау метода может быть использована для получения полиномиальных приближений гипергеометрической, конфлюентной гипергеометрической функции первого рода с комплексными параметрами и модифицированной функции Бесселя второго рода комплексного порядка $ K_{\alpha +i\beta }(x)$. Для случая $ \alpha =\frac{1}{2} $ в [2] показано, что область изменения параметра $ \beta $ для проведения эффективных и устойчивых вычислений может быть значительно расширена.