Представление решений одного класса интегро-дифференциальных уравнений с операторными коэффициентами

Изучаются интегро-дифференциальные уравнения с неограничеными операторными коэффициентами в гильбертовом пространстве, представляющие собой абстрактное волновое уравнение, возмущенное вольтерровыми интегральными операторами с ядрами, зависящими от параметра. К исследованию указанных уравнений приводят многочисленые задачи, возникающие в приложениях: в теории вязкоупругости, в теории распространения тепла в средах с памятью, и в теории усреднения. В работе получены представления решений следующей задачи для интегродифференциального уравнения вида
\begin{gather} \frac{d^2u}{dt^2}+A^2u- \int_{0}^{t}K(t-s)A^{2\xi} u(s)\, ds=f(t), \qquad t \in \mathbb{R}_{+}, \label{N408:eq1} \\ u(+0)=\varphi_0, \qquad u^{(1)}(+0)=\varphi_1. \label{N408:eq2} \end{gather}
в виде рядов по экспонентам, отвечающим точкам спектра оператор-функции $L(\lambda)$, являющейся символом уравнения \eqref{N408:eq1}. Здесь $A$ – самосопряженный положительный оператор, действующий в сепарабельном гильбертовом пространстве $H$, имеющий компактный обратный, а параметр $\xi \in (0, 1)$. Пусть $K(t)$ допускает представление $K(t)=\sum_{j=1}^{\infty}c_j\mathrm{e}^{-\gamma_j t}$, где $c_j>0$, $\gamma_{j+1}>\gamma_{j}>0$, $j \in \mathbb{N}$, $\gamma_j \to +\infty$ $(j \to +\infty)$ и выполнены условия

• a) $\sum_{j=1}^{\infty}\frac{c_j}{\gamma_j}<1$,
• b) $\sum_{j=1}^{\infty} c_j<+\infty$,
• c) $\sup_{k}\{\gamma_k(\gamma_{k+1}-\gamma_k)\}=+\infty$.

Теорема . Пусть $f(t)=0$ при $t \in \mathbb{R}_+$, вектор-функция $u(t) \in W_{2, \gamma}^{2}(\mathbb{R}_+, A^2)$, $\gamma>0$, является сильным рещением задачи \eqref{N408:eq1}–\eqref{N408:eq2}, и выполнены условия a) и c). Тогда для любого $t \in \mathbb{R}_+$ решение $u(t)$ задачи \eqref{N408:eq1}–\eqref{N408:eq2} представимо в виде
$$ u(t)=\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{(\varphi_{1n}+\lambda_{n}^{\pm}\varphi_{0n}) \mathrm{e}^{\lambda_{n}^{\pm}t}}{\ell_{n}^{'}(\lambda_{n}^{\pm})}\right)e_n +\sum_{n=1}^{\infty}\left(\sum_{k=1}^{\infty}\frac{(\varphi_{1n}+\lambda_{n, k}\varphi_{0n}) \mathrm{e}^{\lambda_{n, k}t}}{\ell_{n}^{'}(\lambda_{n, k})}\right)e_n $$
сходящегося по норме пространства $H$, где $\varphi_{0n}=(\varphi_0, e_n)$, $\varphi_{1n}=(\varphi_1, e_n)$, $Ae_n=a_ne_n$ ($\{e_n\}$ – ортонормированный базис, составленный из собственных векторов оператора $A$), а $\lambda_{n, k}$ – действителньные нули мероморфной функции $\ell_n(\lambda)=(L(\lambda)e_n, e_n)$, удовлетворяющие неравенствам,
\begin{equation} \cdots -\gamma_k<\lambda_{n, k}< \cdots < -\gamma_{1}<\lambda_{n, 1}<0, \qquad\text{и}\qquad \lim_{n\to\infty} \lambda_{n, k}=-\gamma_k \end{equation}
а $\lambda_{n}^{\pm}$ – пара комлексно-сопряженных нулей, $\lambda_{n}^{+}=\overline{\lambda_{n}^{-}}$, асимптотически предстамимых в виде:

• 1) если выполнено условие b), то
  $$ \lambda^{\pm}_{n}(\xi)=-\frac{1}{2} \frac{1}{a_{n}^{\delta_1(\xi)}} \sum_{j=1}^{\infty}c_j+O\left(\frac{1}{a^{\delta_2(\xi)}_{n}}\right)\pm i\left(a_{n}+O\left(\frac{1}{a^{\delta_3(\xi)}_{n}}\right)\right), \qquad a_n \to +\infty, $$
  где все $\delta_k(\xi)$ положительны (см. [1], [2]).
  
• 2) если условие b) не выполнено, то
  $$ \lambda^{\pm}_{n}(\xi)=\frac{C_k}{a_{n}^{\beta_1(\xi)}}\pm i\left(a_{n} +\frac{C_k}{a_{n}^{\beta_1(\xi)}}\right)+O\left(\frac{1}{a^{\beta_3(\xi)}_{n}}\right), \qquad a_n \to +\infty, $$
  где не все $\beta_k(\xi)$ положительны (см. [1], [2]).

Локализация спектра оператор-функции $L(\lambda)$, являющейся символом уравнения \eqref{N408:eq1} приведена в работах [1], [2].