О весовых пространствах бесконечно дифференцируемых функций в неограниченных областях в ${\mathbb R}^p$

Доклад посвящëн проблемам теории приближения, анализа Фурье и теории операторов в весовых пространствах бесконечно дифференцируемых функций в неограниченных областях многомерного вещественного пространства. В частности, будет дано усиление и развитие результатов, ранее полученных в [1]–[3].
Одно из рассматриваемых пространств – следующее. Пусть $\Omega$ – область в ${\mathbb R}^k$, $\{K_m\}_{m=1}^{\infty}$ – совокупность компактных множеств $K_m \subset {\mathbb R}^k$ таких, что $K_m \subset int K_{m+1}$ и $\bigcup_{m=1}^{\infty} K_m=\Omega$. Пусть $\varphi=\{\varphi_m\}_{m=1}^{\infty}$ – семейство непрерывных функций $\varphi_m\colon {\mathbb R}^n \to {\mathbb R}$ таких, что для любого $m \in {\mathbb N}$:
\begin{align*} 1)&\quad \lim_{x \to \infty}\frac{\varphi_m(x)}{\Vert x \Vert} = +\infty \quad(\Vert \cdot \Vert\text{ -- евклидова норма в }{\mathbb R}^n); \\ 2)&\quad \lim _{x \to \infty}(\varphi_m(x) - \varphi_{m+1}(x)) = +\infty . \end{align*}
Обозначим через ${\mathcal E}_{\varphi}(\Omega \times {\mathbb R}^n)$ пространство функций $f \in C^{\infty}(\Omega \times {\mathbb R}^n)$ таких, что для каждого $m \in {\mathbb N}$ найдëтся постоянная $c_m(f) > 0$ такая, что
$$ \vert (D_t^{\alpha}D_x^{\beta} f)(t, x) \vert \le c_m(f) \exp(\varphi_m(x)), \quad t \in K_m,\ \ x \in {\mathbb R}^n,\ \ \vert \alpha \vert \le m,\ \ \vert \beta \vert \le m. $$
Наделим ${\mathcal E}_{\varphi}(\Omega \times {\mathbb R}^n)$ локально выпуклой топологией, определяемой системой полунорм
$$ p_m (f) = \sup_{(t, x) \in K_m \times {\mathbb R}^n, \atop {\vert \alpha \vert \le m, \vert \beta \vert \le m}} \displaystyle \frac {\vert (D_t^{\alpha}D_x^{\beta} f)(t, x) \vert} {\exp(\varphi_m(x))} \ . $$

Теорема 1. Полиномы плотны в ${\mathcal E}_{\varphi}(\Omega \times {\mathbb R}^n)$.
В предположении выпуклости $\Omega$ и при дополнительных условиях на $\varphi$ будет дано описание сопряжeнного пространства к ${\mathcal E}_{\varphi}(\Omega \times {\mathbb R}^n)$ в терминах преобразования Фурье-Лапласа функционалов как некоторого пространства целых функций в ${\mathbb C}^{k+n}$. Здесь же приведeм одно простое применение теоремы 1. Напомним, что линейный непрерывный оператор $T$ на сепарабельном локально выпуклом пространстве $X$ называют гиперциклическим, если существует точка $x \in~X$ такая, что еe орбита $ Orb \{x, T \} = \{x, Tx, T^2x, \ldots \}$ плотна в $X$.
Теорема 2. Любой линейный непрерывный оператор на ${\mathcal E}_{\varphi}(\Omega \times {\mathbb R}^n)$, коммутирующий с операторами частного дифференцирования и не являющийся кратным тождественному оператору, является гиперциклическим.