Задача Стеклова для бигармонического уравнения в неограниченных областях

В области $\Omega$ рассматривается задача Стеклова
$$ \Delta^2 u(x)=0, ~x\in\Omega, \qquad u|_{\partial\Omega}=\left.\left(\Delta u+\tau\frac{\partial u}{\partial \nu}\right)\right|_{\partial\Omega}=0, $$
$\nu$ – направление внешней нормали к $\partial\Omega$, $\tau\in C(\partial\Omega)$.
Условием, характеризующим поведение решения на бесконечности, является ограниченность интеграла Дирихле $ D_a(u, \Omega):=\int_\Omega|x|^a\sum_{|\alpha|=2}|\partial^{\alpha} u(x)|^2dx<\infty$ с весом $|x|^a, a\in{\mathbb R}^{1}$, $|x|=\sqrt{x_1^2+\dots+x_n^2}$.
I. Пусть $\Omega={\mathbb R}^n\setminus G$ с границей $\partial\Omega\in C^2$, где $G$ – ограниченная односвязная область в ${\mathbb R}^{n}$ $(n>4)$, $0\in G$.
Теорема. Задача Стеклова с условием $D_a(u, \Omega)< \infty$ имеет:
(i) $n+1$ линейно независимых решений, если $-n\le a<n-4$;
(ii) $n$ линейно независимых решений, если $n-4\le a<n-2$;
(iii) лишь тривиальное решение, если $n-2\le a<\infty$;
(iv) $k(r, n)$ линейно независимых решений при $-2r+2-n\le a<-2r+4-n$, $r>1$, где $k(r, n)=\frac {(r+n)!}{n!r!}-\frac{(r+n-4)!}{n!(r-4)!}$.
II. Пусть $\Omega\equiv\mathbb R_{+}^{n}=\{x = (x^{\prime},x_{n})\in\mathbb R^{n}: x^{\prime}\in\mathbb R^{n-1}, x_{n}>1\}$ с границей $\partial\Omega=\{x=(x^{\prime},x_{n})\in\mathbb R^{n}: x_{n}=1\}$, $n\ge 2$.
Теорема. Задача Стеклова с условием $D_a(u, \Omega)< \infty$ имеет:
(i) тривиальное решение, если $-n\le a<\infty$;
(ii) $k(r, n)$ линейно независимых решений при $-2r+2-n\le a<-2r+4-n$, $r>1$, где $k(r, n)=\frac {(r+n)!}{n!r!}-\frac{(r+n-4)!}{n!(r-4)!} -\frac{(r+n-1)!}{(n-1)!r!} -\frac{(r+n-2)!}{(n-1)!(r-1)!}$.