Ортогональные системы сдвигов в поле $p$-адических чисел

Пусть $G=Q_p^+$ аддитивная группа поля $p$-адических чисел, $(G_n)_{n\in \mathbb Z}$ – основная цепочка подгрупп, $(g_n)_{n\in \mathbb Z}$ – базисная последовательность, т.е. $g_n\in G_n\setminus G_{n+1}$. Пусть далее $X$ группа характеров в $G$, $G_n^\bot$ – последовательность аннуляторов, $(r_n)$ – последовательность функций Радемахера, т.е. $r_n\in G_{n+1}^\bot\setminus G_{n}^\bot$. Обозначим через
$$ H_0=\{h=a_{-1}g_{-1}\dot+a_{-2}g_{-2}\dot+\dots \dot+a_{-s}g_{-s}: s\in\mathbb N,\ a_j=\overline{1,p-1}\,\} $$
множество сдвигов.
Нас будут интересовать условия на функцию $\varphi\in L_2(G)$, как необходимые так и достаточные, при которых система сдвигов $(\varphi(x\dot-h))_{h\in H_0}$ будет ортонормированной.
Пусть $M,N\in \mathbb N$. Через ${\mathfrak D}_M(G_{-N})$ обозначим совокупность ступенчатых функций, постоянных на смежных классах $G_M\dot+g$, носитель которых лежит в $G_{-N}$. Аналогично определим класс ${\mathfrak D}_{-N}(G^\bot_{M})$. Отметим, что $\varphi\in {\mathfrak D}_M(G_{-N})$ т.и.т., когда $\hat\varphi\in {\mathfrak D}_{-N}(G^\bot_{M})$ Определим систему $N+M$-мерных векторов
\begin{gather*} {\mathbf e}_l(\alpha)={\mathbf e}_l(G_{-N}^\bot r_{-N}^{\alpha_{-N}}\dots r_{0}^{\alpha_0}\dots r_{M-1}^{\alpha_{M-1}}), \\ l=l_{-N}+l_{-N+1}p+\dots+l_0p^N+\dots+l_{M-1}p^{N+M-1}=\overline{0,p^{N+M}-1} \\ \alpha=\alpha_{M-1}+\alpha_{M-2}p+\dots+\alpha_{-N}p^{N+M-1}=\overline{0,p^{N+M}-1}. \end{gather*}
равенствами
\begin{align*} &{\mathbf e}_l(G_{-N}^\bot r_{-N}^{\alpha_{-N}}\dots r_{0}^{\alpha_0}\dots r_{M-1}^{\alpha_{M-1}})=\frac{1}{p^{\frac{M+N}{2}}}e^{\frac{-2\pi i}{p^{M+N}}l\alpha} \\ &\qquad =\frac{1}{p^{\frac{M+N}{2}}} e^{\frac{-2\pi i}{p^{M+N}}(l_{-N}+\dots+l_{M-1}p^{N+M-1}) (\alpha_{M-1}+\alpha_{M-2}p+\dots+\alpha_{-N}p^{N+M-1})}. \end{align*}
Ясно, что векторы $({\mathbf e}_l)_{l=0}^{p^{N+M}-1}$ образуют ортонормированную систему. Поэтому для преобразования Фурье функции $\varphi\in {\mathfrak D}_M(G_{-N})$ можно записать равенство
$$ |\hat\varphi(G_{-N}^\bot r_{-N}^{\alpha_{-N}}\dots r_{0}^{\alpha_0}\dots r_{M-1}^{\alpha_{M-1}})|^2=\sum_{l=0}^{p^{M+N}-1}c_l {\mathbf e}_l(G_{-N}^\bot r_{-N}^{\alpha_{-N}}\dots r_{M-1}^{\alpha_{M-1}}). $$

Теорема 1. Пусть $\varphi\in {\mathfrak D}_M(G_{-N})$. Система сдвигов $(\varphi(x\dot-h))_{h\in H_0}$ будет ортонормированной системой тогда и только тогда, когда для коэффициентов Фурье $c_l$ функции $|\hat\varphi|^2$ справедливы соотношения
$$ c_0=p^{\frac{N-M}{2}},c_1=\dots=c_{p^N-1}=0;\qquad c_{p^N(p^M-1)+j}=0\ (j=1,2,\dots,p^N-1). $$

Используя эту теорему получаем следующее утверждение
Теорема 2. Пусть $p=2$, $N\in\mathbb N$, $\hat\varphi\in \mathfrak D_{-N}(G_1^\bot)$. Если система сдвигов $(\varphi(x\dot-h))_{h\in H_0}$ есть ортонормированная система, то $\hat\varphi(G_1^\bot\setminus G_0^\bot)=0$.
В отличие от [1] в этой теореме отсутствует требование $\varphi$ порождает КМА.
Работа выполнена при поддержке РФФИ, грант 13-01-00102а.