Задачи оптимизации коэффициентами полулинейных УМФ эллиптического типа с разрывными данными и их конечномерная аппроксимация

Пусть
$$ \Omega=\bigl\{r=(r_1,r_2)\in\mathbb R^2:0\leq r_\alpha \leq l_\alpha,\ \alpha=1,2\bigr\} $$
– прямоугольник в $\mathbb R^2$ с границей $\partial\Omega=\Gamma$. Пусть область $\Omega$ разделена прямой $r_1=\xi$, где $0<\xi<l_1$, на подобласти
$$ \Omega_1\equiv\Omega^-=\bigl\{0<r_1<\xi,\ 0<r_2<l_2\},\qquad \Omega_2\equiv\Omega^+=\bigl\{\xi<r_1<l_1,\ 0<r_2<l_2\} $$
с границами $\partial \Omega_1\equiv\partial\Omega^-$ и $\partial \Omega_2\equiv\partial\Omega^+$. Через $\overline{\Gamma}_k$ будем обозначать границы областей $\Omega_k$ без $S$, $k=1,2$. Так что $\partial\Omega_k=\overline\Gamma_k\cup S$, где части $\Gamma_k$, $k=1,2$ – открытые непустые подмножества в $\partial\Omega_k$, $k=1,2$; $\overline\Gamma_1\cup\overline\Gamma_2=\partial\Omega=\Gamma$. Через $n_\alpha$, $\alpha=1,2$ будем обозначать внешнюю нормаль к границе $\partial\Omega_\alpha$ области $\Omega_\alpha$, $\alpha=1,2$. Пусть, далее, $n=n(x)$ – единичная нормаль к $S$ в какой-либо ее точке $x\in S$, ориентированная, например, таким образом, что нормаль $n$ является внешней нормалью к $S$ по отношению к области $\Omega_1$, то есть нормаль $n$ направлена внутрь области $\Omega_2$. Ниже, при постановке краевых задач для состояний процессов управления, $S$ – это прямая, вдоль которой разрывны коэффициенты и решения краевых задач, которые в областях $\Omega_1$ и $\Omega_2$ обладают некоторой гладкостью.
Пусть условия управляемого физического процесса позволяют моделировать его в области $\Omega=\Omega_1\cup\Omega_2\cup S$, состоящей из двух частей (подобластей) $\Omega_1$ и $\Omega_2$, разбитой на части внутренней границей $S$, следующей задачей Дирихле для полулинейного уравнения эллиптического типа с разрывными коэффициентами и решениями: требуется найти функцию $u(x)$, определенную на $\overline\Omega$, удовлетворяющую в каждой из областей $\Omega_1$ и $\Omega_2$ уравнению
$$
\begin{array}{l} \displaystyle Lu(x)=-\sum_{\alpha=1}^2{\frac{\partial}{\partial x_\alpha}} \left(k_\alpha(x)\frac{\partial u}{\partial x_\alpha}\right) +d(x)q(u)=f(x) , \quad x\in\Omega_1\cup\Omega_2, \\ \textrm{и условиям }\quad\displaystyle u(x) = 0, \quad x\in\partial\Omega=\overline\Gamma_1 \cup\overline\Gamma_2,\\ \displaystyle \bigl[k_1(x)\frac{\partial u}{\partial x_1}\bigr]=0,\quad G(x)=\bigl(k_1(x)\frac{\partial u}{\partial x_1}\bigr)=\theta(x_2)[u],\quad x\in S, \end{array}
\tag{1} $$
где
$$\displaystyle u(x)=\left\{
\begin{array}{ll} u_1(x), & \hbox{$x\in \Omega_1$;} \\ u_2(x), & \hbox{$x\in \Omega_2$,} \end{array}
\right.\; \displaystyle q(\xi)=\left\{
\begin{array}{ll} q_1(\xi_1), & \hbox{$\xi_1\in \mathbb{R}$;} \\ q_2(\xi_2), & \hbox{$\xi_2\in \mathbb{R}$,} \end{array}
\right. $$

$$\displaystyle k_\alpha(x), d (x), f (x)=\left\{
\begin{array}{ll} k_\alpha^{(1)}(x), d_1(x), f_1(x), & \hbox{$x\in\Omega_1$;} \\ k_\alpha^{(2)}(x), d_2(x), f_2(x), & \hbox{$x\in\Omega_2, \; \alpha=1,2$.} \end{array}
\right. $$
Здесь $\bigl[u\bigr]=u_2(x)-u_1(x)$ – скачок функции $u(x)$ на $S$; $k_\alpha(x)$, $\alpha=1,2$, $ f(x)$ – известные функции, определяемые по-разному в $\Omega_1$ и $\Omega_2$, претерпевающие разрыв первого рода на $S$; $q_\alpha(\xi_\alpha)$, $\xi_\alpha\in \mathbb R$, $\alpha=1,2$, $d_2(x)$, $x\in \Omega_2$ – заданные функции; $g(x)\equiv\left(\theta(x),d_1(x)\right) $, – управление. Относительно заданных функций будем предполагать: $k_\alpha(x) \in W^1_\infty(\Omega_1)\times W^1_\infty(\Omega_2)$, $\alpha=1,2$, $d_2(x)\in L_\infty(\Omega_2)$, $f(x)\in L_2(\Omega_1)\times L_2(\Omega_2)$; $0<\nu\leq k_\alpha(x)\leq \overline\nu$, $\alpha=1,2$, $0\leq d_0\leq d_2(x)\leq \overline{d}_0$, $x\in\Omega_2$; $\nu,\overline\nu,d_0,\overline{d}_0$ – заданные константы; функции $q_\alpha(\xi_\alpha)$, определенные на $\mathbb R$ со значениями в $\mathbb R$, удовлетворяют условиям: $q_\alpha(0)=0$, $0<q_0\leq\bigl(q_\alpha(\xi_\alpha)-q_\alpha(\overline{\xi}_\alpha)\bigr)/\bigl(\xi_\alpha-\overline{\xi}_\alpha\bigr)\leq L <\infty$, для всех $\xi_\alpha$, $\overline{\xi}_\alpha \in \mathbb R,\; \xi_\alpha\neq \overline{\xi}_\alpha$, $\alpha=1,2$.
Введем множество допустимых управлений $U=\prod\limits_{\alpha=1}^2 U_\alpha$, $U_\alpha\subset H_\alpha$, $\alpha=1,2$, $H=H_1\times H_2$, $H_1=L_2(S)$, $H_2=L_2(\Omega_1)$ – пространства управлений,
$$
\begin{array}{c} U_1=\bigl\{g_1(x)=\theta(x)\in L_2(S):\;0< g_0\leq g(x)\leq \overline g_0 \textrm{ п.в. на }S\bigr\},\\ U_2=\bigl\{g_2(x)=d_1(x)\in L_2(\Omega_1):\;0< d_0\leq d_1(x)\leq \overline d_0 \textrm{ п.в. на }\Omega_1\bigr\}, \end{array}
\tag{2} $$
где $d_0$, $\overline d_0$, $g_0$, $\overline g_0$ – заданные числа.
Зададим функционал цели $J:\;U\rightarrow \mathbb R^1$ в виде
$$ g\rightarrow J(g)=\int\limits_{\Omega_1}\left|u(r_1,r_2;g)-u^{(1)}_0(r)\right|^2d\Omega_1=I(u(r;g)),\tag{3} $$
где $u^{(1)}_0\in W_2^1(\Omega_1)$ – заданная функция.
Задача оптимального управления состоит в том, чтобы найти такое управление $g_*\in U$, которое минимизирует на множестве $U\subset H$ функционал $g\rightarrow J(g)$, точнее, на решениях $u(r)=u(r;g)$ задачи (1), отвечающих всем допустимым управлениям $g=\left(\theta(x),d_1(x)\right)\in U$, требуется минимизировать функционал (3).
В работе построены и исследованы разностные аппроксимации экстремальных задач, установлены оценки скорости сходимости аппроксимаций по состоянию и функционалу, слабая сходимость по управлению. Проведена регуляризация аппроксимаций. При этом исследования аппроксимаций проводятся для дифференциальных уравнений, описывающих разрывные состояния процессов управления с обобщенными решениями из классов Соболева, при естественных незавышенных априорных требованиях к гладкости входных данных и управлений.
В теплофизических терминах поставленные задачи можно трактовать как задачи оптимального управления коэффициентом граничного условия сопряжения разнородных теплопроводящих сред $\theta(x)$ и коэффициентом теплоотдачи $d_1(x)$, входящим в нелинейное слагаемое $d_1(x)\,q_1(u)$, характеризующее мощность нелинейных стоков тепла, зависящих от температуры и распределенных в области $\Omega_1$. При этом этот коэффициент граничного условия сопряжения характеризует термическое сопротивление неидеального контакта разнородных сред.
Работа второго автора выполнена при поддержке гранта Президента Российской Федерации для государственной поддержки молодых российских ученых – кандидатов наук (Конкурс – МК-2015).