Решение функционального уравнения для систем с медленно движущимися границами

Пусть движение системы описывается волновым уравнением
\begin{equation} \label{N361:1} U_{\tau \tau}(\xi,\tau)-U_{\xi \xi}(\xi,\tau)=0 \end{equation}
при граничных условиях
\begin{equation} \begin{split} &U(0,\tau)=0\\ &U(l(\tau),\tau)=F(\tau)\\ &l(0)=1. \end{split} \end{equation}

Здесь $\tau, \xi$ – безразмерное время ($\tau \geq 0$) и безразмерная пространственная координата, $l(\tau)$ – закон движения правой границы (левая граница неподвижна, но это не отменяет общности задачи), $F(\tau)$ – заданная функция класса $C^{1}$.
В работе [1] в результате решения исходной задачи (1) с помощью представления Даламбера получено функциональное уравнение
\begin{equation} \varphi(\tau+l(\tau))=\varphi(\tau-l(\tau))+1. \end{equation}
Для решения (3) А.И. Весницким [2] был использован обратный метод, т.е. по заданным находились законы движения границ. В данной статье для решения уравнения (3) предлагается использовать асимптотический метод.
При неподвижных границах ($l(\tau)=l$) решением уравнения (3) является линейная функция
\begin{equation} \varphi_{s}(z)=\frac{z}{2l}+\mathrm{const}. \end{equation}
В случае медленного движения границы $l(\tau)$, «фаза» волны $\varphi(z)$ за время ее пробега через систему изменяется незначительно относительно $\varphi_{s}(z)$. Предполагается, что $\varphi(z)$ имеет производные любого порядка, и записывая $\varphi(\tau+l(\tau))$ в виде степенных рядов по $l(\tau)$, после их подстановки в (3) получим дифференциальное уравнение для медленно изменяющейся «фазы» $\varphi(\tau)$

\begin{equation} \sum\limits_{k=0}^{\infty}\frac{l^{k+1}}{(k+1)!}\frac{d^{k+1}\varphi}{d\tau^{k+1}}=1. \end{equation}

Так как $\varphi(\tau)$ мало отклоняется от линейного закона $\varphi_{s}(z=\tau)$ за время пробега волны через резонатор, то каждый следующий член в левой части уравнения (4) много меньше предыдущего и его решение нужно искать в виде ряда

\begin{equation} \varphi(\tau)=\sum\limits_{n=0}^{\infty}\varphi_{n}(\tau). \end{equation}

Подставляя (5) в (4) и приравнивая члены одинакового порядка малости по отдельности к нулю, получим для нулевого приближения

$$ \frac{d\varphi_{0}}{d\tau}(\tau)=\frac{1}{l(\tau)}. $$

Отсюда

$$ \varphi_{0}(\tau)=\int\limits_{0}^{\tau}\frac{1}{l(t)}\,dt. $$

Обозначим $z_{+}:=\tau+\xi$, $z_{-}:=\tau-\xi$.
В случае линейного закона движения границы $l(\tau)=1+\nu \tau$ фаза динамических собственных колебаний равна

$$ \varphi_{0}(z_{\pm})=\frac{1}{\nu}ln(l(\tau) \pm \nu\xi). $$

При этом точное решение выглядит следующим образом [1]:

$$ \varphi(z_{\pm})=\left(ln\frac{1+\nu}{1-\nu}\right)^{-1}ln \frac{l(\tau \pm \nu\xi)}{1+\nu}. $$

Таким образом, асимптотический метод уже в нулевом приближении дает качественно совпадающие с точными результаты.