О числовом образе одного класса квадратичных форм и собственных значениях эллиптических операторов

В унитарном пространстве $V$ со скалярным произведением $(f,g)_V$ и нормой $\|f\|_V$ рассмотрим две полуторалинейные формы $\mathcal{L}_0\bigl( f,{}g \bigr)$ и $\mathcal{Q}\bigl( u,{}v \bigr)$ с областями определения $D\bigl( \mathcal{L}_0 \bigr)\times D\bigl( \mathcal{L}_0 \bigr)$ и $D\bigl( \mathcal{Q} \bigr)\times D\bigl( \mathcal{Q} \bigr)$ такими, что $D\bigl(\mathcal{L}_0\bigr)\subseteq D\bigl( \mathcal{Q}\bigr) \subseteq V$. Будем предполагать, что форма $\mathcal{L}_0$ является эрмитовой, т. е.
\begin{equation} \forall f,\,g \in D\bigl( \mathcal{L}_0 \bigr)\qquad \mathcal{L}_0\bigl( f,{}g \bigr)= \overline{\mathcal{L}_0\bigl( g,{}f \bigr)} \end{equation}
и, кроме того, найдутся числа $p>0$, $q\in \mathbb{R}$ такие, что для всех элементов $f\in D\bigl( \mathcal{L}_0 \bigr)$ с нормой $\bigl\| f \bigr\|_V = 1$ справедлива оценка
\begin{equation} \mathcal{L}_0\bigl( f, f \bigr) \ge p\, \bigl| \mathcal{Q}\bigl( f, f \bigr) \bigr|^2 + q\, \bigl( f, f \bigr)_V \end{equation}

Рассмотрим возмущëнную форму $\mathcal{L}\bigl( f,{}g \bigr) = \mathcal{L}_0\bigl( f,{}g \bigr) + \mathcal{Q}\bigl( f,{}g \bigr)$ с областью определения $D\bigl( \mathcal{L} \bigr)\times D\bigl( \mathcal{L} \bigr)$, где $D\bigl( \mathcal{L} \bigr)= D\bigl( \mathcal{L}_0 \bigr)$. Множество значений, которые принимает функция $\mathcal{L}\bigl( f,{}f \bigr)$, когда $f \in D\bigl( \mathcal{L}\bigr)$, $\bigl\| f \bigr\|_V = 1$, будем называть числовым образом формы $\mathcal{L}$ и обозначать $\Theta \bigl(\mathcal{L}\bigr)$ (см. [1]). Собственным значением формы $\mathcal{L}\bigl( f,{}g \bigr)$, как обычно, называется число $\lambda \in \mathbb{C}$ такое, что существует ненулевой элемент $h\in D\bigl( \mathcal{L} \bigr)$, для которого выполнено равенство $\mathcal{L}\bigl( h,{}g \bigr) = \lambda \bigl( h,{}g \bigr)_V$ при любом элементе $g\in D\bigl( \mathcal{L} \bigr)$. Отметим, что всякое собственное значение $\lambda \in \Theta \bigl(\mathcal{L}\bigr)$.
Теорема. Пусть выполнены условия (1), (2). Тогда числовой образ $\Theta \bigl( \mathcal{L} \bigr)$ квадратичной формы $\mathcal{L}\bigl( f,{}f \bigr)$ лежит во множестве
\begin{gather*} \mathcal{D}_0 (p, q) \equiv \bigcap_{\varepsilon \in (0, p]} \mathcal{D} (\varepsilon; p, q)\,,\quad \text{где семейство множеств } \mathcal{D}\text{ имеет вид} \\ \mathcal{D} (\varepsilon; p, q)\equiv \Bigl\{ \lambda = \alpha + i\beta \in \mathbb{C} \mid \alpha \ge (p-\varepsilon)|\beta|^2 - \frac{1}{4\varepsilon} + q \Bigr\}. \end{gather*}

Множество $\mathcal{D}_0$ может быть найдено прямым вычислением.
\begin{equation*} \mathcal{D}_{0}=\left\{ \begin{array}{ll} \alpha\ge p\,\beta^{2}-|\beta|+q, & \text{если }|\beta|\ge \dfrac{1}{2p};\\ \alpha\ge q-\dfrac{1}{4p}, & \text{если }|\beta|\le \dfrac{1}{2p}. \end{array} \right. \end{equation*}
Из этой теоремы в качестве следствия получен результат о расположении на плоскости $\mathbb{C}_\lambda$ собственных значений достаточно широкого класса линейных (не обязательно эллиптических) операторов. Приведены примеры эллиптических операторов, показывающие асимптотическую точность найденного множества $\mathcal{D}_0$, которое в свою очередь лежит внутри любой из парабол Гепперта–Карлемана ([2], [3]).