Аннотация:
Пусть $B\subset \mathbb{R}^d$ — открытый шар с центром в нуле
радиуса $R<1$, $g$, $v: B\rightarrow (0, \, \infty)$,
$g(x)=|x|^{-\beta_g}|\log|x||^{-\alpha_g}$, $v(x)=|x|^{-\beta_v}
|\log|x||^{-\alpha_v}$, $1<p\le \infty$, $1\le q<\infty$, $r\in
\mathbb{N}$. Предположим, что $\delta:=r+\frac dq-\frac dp>0$.
Ранее автором рассматривался случай $\beta_v<\frac dq$. Теперь
предполагаем, что $\beta_v\in \left(\frac dq, \, \infty\right)
\backslash \left\{\frac dq+1, \, \dots, \, \frac dq+r-1\right\}$.
Пусть $W^r_{p,g}(B)=\left\{f:B\rightarrow \mathbb{R}|\, \;
\left\|\frac{\nabla^r f}{g}\right\|_{L_p(B)}\le 1\right\}$.
Обозначим через $W^r_{p,g}(B, \, \Gamma_0)$ замыкание в
$W^r_{p,g}(B)$ множества бесконечно гладких функций, равных $0$ в
некоторой окрестности нуля (относительно полуметрики, порожденной
полунормой $\left\|\frac{\nabla^r f}{g}\right\|_{L_p(B)}$). Также
положим $L_{q,v}(B)=\{f:\, \|f\|_{L_{q,v}(B)}:=\|vf\|_{L_q(B)}<
\infty\}$.
Теорема. Пусть $\delta>0$, $\beta_g+\beta_v=\delta$,
$$\beta_v\in \left(\frac dq, \, \infty\right) \backslash
\left\{\frac dq+1, \, \dots, \, \frac dq+r-1\right\},$$
$\alpha:=\alpha_g+\alpha_v>\left(\frac 1q-\frac 1p\right)_+$.
- Пусть $p\ge q$ или $p\le q\le 2$. Предположим, что $\alpha\ne
\frac{\delta}{d}$. Тогда
$$
d_n(W^r_{p,g}(B, \, \Gamma_0), \, L_{q,v}(B)) \asymp n^{-\min
\left\{\frac{\delta}{d}, \, \alpha\right\}+\left(\frac 1q-\frac
1p\right)_+}.
$$
- Пусть $p<q$, $q>2$. Положим $\theta_1=\frac{\delta}{d}+\min \left\{\frac 12-\frac 1q, \,
\frac 1p-\frac 1q\right\}$, $\theta_2 = \frac{q\delta}{2d}$,
$\theta_3=\alpha+\min \left\{\frac 12-\frac 1q, \, \frac 1p-\frac
1q\right\}$, $\theta_4= \frac{q\alpha}{2}$. Предположим, что
существует $j_*\in \{1, \, 2, \, 3, \, 4\}$ такое, что
$\theta_{j_*}<\min _{j\ne j_*} \, \theta_j$. Тогда
$$
d_n(W^r_{p,g}(B, \, \Gamma_0), \, L_{q,v}(B)) \asymp
n^{-\theta_{j_*}}.
$$
Дополнительные материалы:
abstract.pdf (149.7 Kb)
|
Обратная связь: