Сходимость лакунарной последовательности частичных сумм кратных тригонометрических рядов Фурье

Пусть $S_n(x;f)$, $n\in {\mathbb Z}^N_1$, — последовательность прямоугольных частичных сумм кратного тригонометрического ряда Фурье функции $f\in L_1({\mathbb T}^N)$, $\mathbb T^N=[-\pi,\pi)^N$, $N\ge 2$. Пусть $k$ ($1\leq k\leq N-2$) компонент вектора $n=(n_1,\dots,n_N)$ — номера $S_n(x;f)$ — являются лакунарными последовательностями ($\{n^{(s)}\}, n^{(s)}\in {\mathbb Z}^1_1$, – лакунарная последовательность, если $n^{(1)}=1$ и $\frac{n^{(s+1)}}{n^{(s)}}\geq q>1$, $s=1,2,\dots$).
П. Шëлиным [1] было доказано, что для любой лакунарной последовательности $\{n_1^{(\lambda_1)}\}$, $n_1^{(\lambda_1)}\in {\mathbb Z}^1_1$, $\lambda_1=1,2,\dots,$ и для любой функции $f\in L_p({\mathbb T}^2)$, $p>1$, $S_{n_1^{(\lambda_1)},\,n_2}(x;f)$ сходится почти всюду (п.в.) на ${\mathbb T}^2$. М. Кожима [2] обобщил этот результат, доказав, что если $f \in L_p({\mathbb T}^N)$, $p> 1$, $N \geq 3$, и $\{n_j^{(\lambda_j)}\}$, $n_j^{(\lambda_j)}\in {\mathbb Z}_1^1, \lambda_j=1,2,\dots, j=1,\dots,N-1$, — лакунарные последовательности, то
$$ \lim\limits_{\lambda_1,\, \dots,\, \lambda_{N-1},\, n_N \to \infty} S_{n_1^{(\lambda_1)}, \dots, n_{N-1}^{(\lambda_{N-1})},\,n_N}(x;f) = f(x) \enskip\text {п.в. на}\enskip {\mathbb T}^N. $$

Как заметил М. Кожима (см. [2; теорема 2]), используя функцию Ч. Феффермана из работы [3], легко доказать, что сформулированный выше результат не может быть усилен в следующем смысле: для любой последовательности $\widetilde{n}=(n_3,\,n_4,\dots,n_N)\in{\mathbb Z}_0^{N-2}$ (в частности, каждая компонента вектора $\widetilde{n}$ может быть элементом лакунарной последовательности) существует непрерывная функция $f\in {\mathbb C}({\mathbb T}^N)$, такая, что
$$ \varlimsup\limits_{n_1,\, n_2,\,\widetilde{n} \to\infty}|S_{n_1,\, n_2,\,\widetilde{n}}(x;f)|= +\infty \enskip\text {п.в. на}\enskip {\mathbb T}^N. $$
Последний результат, в частности, показывает, что, как только мы оставляем две компоненты вектора $n=(n_1,\dots,n_N)$ $\in \mathbb Z^N$ – номера $S_n(x;f)$ — “свободными” (в частности, не являющимися элементами никаких лакунарных последовательностей), класс функций ${\mathbb C}({\mathbb T}^N)$, $N\geq3$, уже не является “классом сходимости п.в.” указанного разложения.
В таком случае, возникает вопрос: можно ли вообще говорить о сходимости п.в. кратных ($N\geq 3$) тригонометрических рядов Фурье функций $f$ из классов $L_p$, $p>1$, “в рамках” прямоугольного метода суммирования, когда последовательности частичных сумм этих рядов $S_n(x;f)$ имеют номера $n$, в которых две или более компонент являются “свободными”. Некоторый ответ на этот вопрос дают следующие теоремы.
Пусть $N\ge1,$ $M=\{1,\dots,N\}$ и $s\in M$. Обозначим: $J_s=\{j_1,\dots,j_s\}$, $j_q<j_l$ при $q<l$, и (в случае $s<N$) $M\setminus J_s=\{m_1,\dots,m_{N-s}\}$, $m_q<m_l$ при $q<l$, — непустые подмножества множества $M$. Будем считать также, что $J_0=M\setminus J_N=\emptyset$.
Фиксируем произвольное $k$, $1\leq k< N$, $N\geq2$, и определим два вектора: вектор $\lambda = \lambda[J_k] = (\lambda_{j_1},\dots,\lambda_{j_k})\in {\mathbb Z}^k_1$, $j_s \in J_k$, $s=1,\dots,k$, и вектор $m =m[J_k] =(m_{j_1},\dots,m_{j_{N-k}})\in {\mathbb Z}_1^{N-k}$, $j_s \in M\setminus J_k$, $s=1,\dots,N-k$.
Символом $n^{(\lambda, m)}=n^{(\lambda, m)}[J_k]=(n_1,\dots,n_N)\in {\mathbb Z}^N_1$ будем обозначать вектор, у которого компоненты $n_j$, $j\in J_k$, являются элементами некоторых (однократных) лакунарных последовательностей, а компоненты $n_j$, $j\in M\setminus J_k$, имеют вид: $n_j=n_0\cdot m_j$, где $m_j$ компоненты вектора $ m[J_k]$, $n_0\in {\mathbb Z}_0^1$.

\begin{theorem} Пусть </nomathmode><mathmode>$J_k$ — произвольная “выборка” из $M$, $1 \leq k \leq N-2$, $N\geq3$. Тогда для любой функции $f\in L_p(\mathbb T^N)$, $1<p<\infty$, и для любого вектора $m[J_k]$
$$ \lim_{\lambda_j \to \infty, j \in J_k, \atop{n_j=n_0\cdot m_j\,, j \in M\setminus J_k\,,n_0 \to \infty}} S_{n^{(\lambda,m)}[J_k]}(x;f)=f(x) \quad \text{п.в. на}\quad \mathbb T^N. $$
\end{theorem}
</mathmode><nomathmode>
В свою очередь, символом $n^{(\lambda, m(\nu))}=n^{(\lambda, m(\nu))}[J_k]=(n_1,\dots,n_N)\in {\mathbb Z}^N_1$ будем обозначать такой $N$-мерный вектор, у которого компоненты $n_j$, $j\in J_k$, являются, как и раньше, элементами некоторых (однократных) лакунарных последовательностей $n_j^{(\lambda_j)}\in {\mathbb Z}_1^1$, $\lambda_j=1,2,\dots$, а компоненты $n_j$, $j\in M\setminus J_k$, имеют вид $n_j=m_j=n_j(\nu)$, где $n_j(\nu)\in {\mathbb Z}_0^1$, $\nu=1,2,\dots$.

\begin{theorem} Пусть </nomathmode><mathmode>$J_k$ — произвольная “выборка” из $M$, $1 \leq k \leq N-2$, $N\geq3$. Тогда для любой функции $f\in L_2(\mathbb T^N)$ и для любых последовательностей $n_j(\nu)\in {\mathbb Z}_0^1$, $\nu=1,2,\dots$, $n_j(\nu)\to \infty$ при $\nu\to \infty$, $j \in M\setminus J_k$,
$$ \lim_{\lambda_j \to \infty, j \in J_k, \atop {n_j(\nu )\,, j \in M\setminus J_k\,,\nu \to \infty}}S_{n^{(\lambda, m(\nu))}[J_k]}(x;f)= f(x) \quad \text {п.в. на}\quad \mathbb T^N. $$
\end{theorem}
</mathmode><nomathmode>