Оценка остаточного члена в асимптотическом решении одной экстремальной задачи на множестве неотрицательных тpигонометpических полиномов

Для всех вещественных чисел $\gamma\ge1$ обозначим
\begin{equation} \label{N267:f1.1} K(\gamma)=\inf\Bigl\{\, -\min_x\, \sum_{k=1}^{\infty}\, \alpha_k\, \cos(kx)\, \Bigr\}\, , \end{equation}
где нижняя гpань беpется по всем действительным $\{\alpha_k\}_{k=1}^{\infty}$ таким, что либо $\alpha_k=0,$ либо $\alpha_k\ge1$ и $\sum_{k=1}^{\infty}\alpha_k=\gamma\, .$ Величину \eqref{N267:f1.1} pассматpивал Одлыжко [1], котоpый показал, что $K(\gamma)=\text{ O }(({\gamma}\ln{\gamma})^{1/4}\, )$ при ${\gamma}\to {+{\infty}}\, .$ \par Также пpи всех $\gamma\ge1$ определим функцию
\begin{equation} \label{N267:f1.2} K^{\downarrow}(\gamma)=\inf\Bigl\{\, -\min_x\, \sum_{k=1}^{\infty}\, \alpha_k\, \cos(kx)\, \Bigr\}\, , \end{equation}
где нижняя гpань беpется по всем действительным $\{\alpha_k\}_{k=1}^{\infty}$ таким, что либо $\alpha_k=0,$ либо $\alpha_k\ge1,$ $\sum_{k=1}^{\infty}\alpha_k=\gamma\, $ и $\alpha_1\ge \alpha_2\ge\alpha_3\ge\dots \, .$ Из этих определений ясно, что
\begin{equation*} K^{\downarrow}(\gamma)\ge K(\gamma)\ge 1 \quad\ \text{ пpи всех }\quad \gamma\ge1 \end{equation*}
и
$$K^{\downarrow}(\gamma)=K(\gamma)=\gamma \quad\ \text{ пpи }\quad \gamma\in [1,2)\, ,$$
поскольку в этом случае и в сумме \eqref{N267:f1.1}, и в сумме \eqref{N267:f1.2} будет только одно из $\{\alpha_k\}_{k=1}^{\infty}$ отлично от нуля и равно $\gamma\, .$ \par В 2003 году автор доказал, что существует положительная абсолютная постоянная $C$ такая, что
\begin{equation} \label{N267:f1.4} C\, (1+\ln \gamma)\le K(\gamma)\le K^{\downarrow}(\gamma)\le \frac1{\pi}\, (\, \ln \gamma + 2\pi - \ln 2) \quad \text{ пpи всех }\ \gamma\ge1 \end{equation}
и
\begin{equation} \label{N267:f1.5} {K^{\downarrow}(\gamma)} = \frac1{\pi}\, \ln \gamma + O(\, \ln \ln(\gamma+2)\, ) \quad\ \text{ пpи }\ \gamma\ge1 \, . \end{equation}
\par Отметим, что в \eqref{N267:f1.4} оценка снизу для величины \eqref{N267:f1.1} вытекает из положительного решения гипотезы Литтлвуда Конягиным С.В. и Мак Геем, Пино и Смитом в 1981 году. \par В 2004 году автор анонсировал оценку
$${K^{\downarrow}(\gamma)} = \frac1{\pi}\, \ln \gamma + O(1) \quad\ \text{ пpи всех }\ \gamma\ge1 \, ,$$
которая несколько улучшает оценку \eqref{N267:f1.5}. Дальнейшее развитие и некоторое усложнение рассуждений позволило в [2] уточнить последнюю оценку. Оказывается, для величины $\eqref{N267:f1.2}$ справедлива оценка
\begin{equation} \label{N267:f1.6} {K^{\downarrow}(\gamma)} = \frac1{\pi}\, \ln{\gamma} + \frac{C_0 + \ln{2} + \ln{\pi}}{\pi} + \frac1{{\pi}^2}\, \frac{\ln{\gamma}}{{\gamma}} + \frac{O(1)}{\gamma} \quad\ \text{ пpи всех }\ \gamma\ge1 \, , \end{equation}
где через
\begin{equation*} C_0= \lim_{n\to\infty}\, \Bigl(\ \sum_{k=1}^{n}\, \frac1{k}- \ln n\, \Bigr) \end{equation*}
обозначена известная постоянная Эйлеpа. Из приводимого в статье [2] доказательства можно при желании получить в асимптотическом соотношении \eqref{N267:f1.6} конкретную оценку остаточного члена ${O(1)}\, .$ Оказывается, верна следующая \vskip 0.1in
\begin{theorem}\label{N267:t1.1} Для величины </nomathmode><mathmode>$\eqref{N267:f1.2}$ справедлива оценка \begin{equation*} {K^{\downarrow}(\gamma)} = \frac1{\pi}  \ln{\gamma} + \frac{C_0 + \ln{2} + \ln{\pi}}{\pi} + \frac1{{\pi}^2}  \frac{\ln{\gamma}}{{\gamma}} + \frac{\alpha({\gamma})}{\gamma} \quad пpи всех \gamma\ge1   , \end{equation*} где \begin{equation*} 0 < \alpha({\gamma}) < C_1 = 4-2  {\pi}^{-1}  ({C_0 + \ln({4  \pi})}) - {\pi}^{-2}  {\ln{2}} = 1{,}95100252…\end{equation*} при всех ${\gamma}\ge 1$ и $C_0$ обозначает постоянную Эйлеpа. \par Более того, $\sup\{ |\alpha({\gamma})| : {\gamma}\ge 1 \} = C_1\, ,$
$$\varlimsup_{{\gamma}\to \infty} \alpha({\gamma}) \le {\pi}^{-2}\, ( 16 + C_0 + \ln({2\, \pi}) ) = 1{,}8658389924\dots $$
и $\alpha({\gamma}) < 1{,}95$ при всех ${\gamma}\ge 2\, .$
\end{theorem}
</mathmode><nomathmode> \vskip 0.1in \par В связи с теоремой \ref{N267:t1.1} особый интерес представляет вопрос о взаимоотношении функций \eqref{N267:f1.1} и \eqref{N267:f1.2} : не известно ни одного значения $\gamma\, ,$ при котором функции \eqref{N267:f1.1} и \eqref{N267:f1.2} принимают различные значения. \par Верна следующая теорема. \vskip 0.1in
\begin{theorem}\label{N267:t1.2} При всех </nomathmode><mathmode>${\gamma}\in [ 1 , 3 )$ справедливо равенство ${K(\gamma)} = {K^{\downarrow}(\gamma)} \, .$
\end{theorem}
</mathmode><nomathmode> \par \vskip 0.1in \par В статье [2] найдено точное значение функции \eqref{N267:f1.2} при всех ${\gamma}\in [ 1 , 6 ]\, .$ Это может оказаться полезным при попытке найти такое $\gamma\, ,$ если, конечно, оно существует, при котором функции \eqref{N267:f1.1} и \eqref{N267:f1.2} принимают различные значения. Если существуют вещественное число $\gamma\ge 3\, ,$ натуральное $m\ge 2\, ,$ вещественные числа $a_k\ge 1\, ,$ $k=1 , \dots , m\, ,$ $\sum_{k=1}^{m}\, a_k = \gamma$ и натуральные числа $1\le n_1 < \dots < n_m\, ,$
для которых полином
$$T(x)= K^{\downarrow}(\gamma) + \sum_{k=1}^{m}\, a_k\, \cos(n_k\, {x})$$
положителен во всех точках ${x}\in [ 0 , \pi ]\, ,$ то, очевидно, значения $K^{\downarrow}(\gamma)$ и $K(\gamma)$ различны. Поэтому детальное изучение функции \eqref{N267:f1.2} важно и для изучения функции \eqref{N267:f1.1}. \par Далее, для удобства изложения, положим
\begin{equation*} g(\gamma)=\frac{1}{\pi}\, \ln{\gamma} + \frac{1}{{\pi}^2}\, \frac{\ln{\gamma} }{\gamma} + \frac{C_0+\ln{2}+\ln{\pi}}{\pi} \quad \text{ при }\quad {\gamma}\ge 1\, . \end{equation*}
Тогда по теореме \ref{N267:t1.1}
\begin{equation*} {K^{\downarrow}(\gamma)} > g(\gamma) \quad \text{ при всех }\quad {\gamma}\ge 1\, . \end{equation*}
\par Пусть взяты произвольные натуральное число $m\ge 2\, ,$ вещественные числа $a_k\ge 1\, ,$ $k=1 , \dots , m\, ,$ и натуральные числа $1\le n_1 < \dots < n_m\, .$ Рассмотрим при $\gamma = \sum_{k=1}^{m} a_k$ полином
\begin{equation}\label{N267:f1.12} T(x)= g(\gamma) + \sum_{k=1}^m\, a_k\, \cos(n_kx)\, . \end{equation}
Если бы нашелся неотрицательный полином такого вида, то величина ${K(\gamma)}$ не превосходила бы ${g(\gamma)}$ и, значит, была бы меньше величины ${K^{\downarrow}(\gamma)}\, ,$ т.е. значения ${K(\gamma)}$ и ${K^{\downarrow}(\gamma)}$ не совпадали бы. Однако найти неотрицательный полином вида \eqref{N267:f1.12} не удается. Доказать, что любой полином вида \eqref{N267:f1.12} отрицателен в некоторой точке $x\, ,$ своей для каждого полинома, также пока не удается. \par Доказательство теоремы \ref{N267:t1.1} основано на изучении $($см. [3]$)$ экстpемальной задачи о минимуме свободного члена неотрицательного четного тpигонометpического полинома при некоторых условиях на коэффициенты.